拉格朗日方程复习与例题

动力学普遍方程和拉格朗日方程※引言※动力学普遍方程※拉格朗日方程※拉格朗日方程的初积分※结论与讨论经典动力学的两个发展方面拓宽研究领域矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学牛顿运动定律由单个自由质点★受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)欧拉将牛顿运动定律★刚体和理想流体寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学★建立分析力学的新体系拉格朗日力学考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有),,2,1(0NnimiiiiaFF主动力惯性力令系统有任意一组虚位移),,2,1(niδir系统的总虚功为),,2,1(0δ)(NnimiiiiiiraFF§5.3.1动力学普遍方程系统的总虚功为利用理想约束条件),,2,1(0NniδiiirF),,2,1(0)(niδmiiiiiraF得到——动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。),,2,1(0δ)(NnimiiiiiiraFFnizzmFyymFxxmFiiiziiiiyiiiiixi,,2,10]δ)(δ)(δ)[(动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。),,2,1(0)(niδmiiiiiraF动力学普遍方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。应用动力学普遍方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。由于动力学普遍方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。应用动力学普遍方程，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用例题1已知：m，R,f，。求：圆盘纯滚时质心的加速度。φCmgaCFIRMICx解：1、分析运动，施加惯性力2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移x。CmaFIRCICJM3、应用动力学普遍方程0sinRxMxF-xmgICIRsin32gaCRamRJCC,212其中：BAC例题2离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；－O1y1轴的旋转角速度。求：－的关系。llllO1x1y1解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标q=1、分析运动、确定惯性力球A、B绕y轴等速转动；重锤静止不动。球A、B的惯性力为2IIsinmlFFBAFIBFIAm1gm2gm1gBACllllO1x1y1FIBFIAm1gm2gm1grC0δδδδδ211IICBABBAAygmygmygmxFxFrBrA2、令系统有一虚位移。A、B、C三处的虚位移分别为rA、rB、rC。3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有cos2cossincossinlylylxlylxCBBAAsin2sincossincoslylylxlylxCBBAABACllllO1x1y1FIBFIAm1gm2gm1grC0δδδδδ211IICBABBAAygmygmygmxFxFrBrA3、应用动力学普遍方程sin2sincossincoslylylxlylxCBBAA0sin2sin2cossin22121glmglmllmcos)(1212lmgmmxOyC2D求：1、三棱柱后退的加速度a1；2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。C1ACB例题3质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为a1。圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2。a1aear2xOyC2DC1ACBa1m1gm2gFI1FI2eFI2rMI2aear解：2、施加惯性力11I1amF12I2eamFr2I2ramF22I2αJM22221RmJ解：3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。第一组0δ0δ，x第二组0δ0δ，x二自由度系统具有两组虚位移：xxOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2解：4、应用动力学普遍方程0δδδcosδsin22r2Ie2I2JRFRFRgm－0)23cos(1sinr1aag0δ0δ，x令：11I1amF12I2eamFr2I2ramF22I2αJM22221RmJ2rRaxOyC2DC1ACBm1gm2gFI1FI2eFI2rMI2解：4、应用动力学普遍方程cos)(2121mammar令：0δ0δ，x0cos)(r2Ie2I1IxFxFFx11I1amF12I2eamFr2I2ramF22I2αJM22221RmJ2rRa解：5、求解联立方程222121r222121cos2)3()(sin2cos2)3(sin2mmmmmgammmgma－－cos)(2121mammar0)23cos(1sinr1aag§5.3.2拉格朗日(Lagrange)方程由n个质点所组成的质点系主动力虚位移广义坐标第i个质点的位矢),,,(21nFFFF),,,(21nrrrr)(21Nqqqq,,,),,,,(21tqqqNiirr由动力学普遍方程，得011iniiiiniiδmδrarFNkkkiniiqQδ11rFQk——广义力Nkkkiiqq1rriniiiδmra10)(1111kkiniiiNkkiniiiiniiqqmQδmδrrrarF),,2,1(01NkqmQnikiiikrrkkiniiiNkkNkkiniiiqqrmqqrm)(1111rr)()(111kiniiikiiniinikiiiqdtdmqdtdmqmrrrrrr(消点)第一个拉格朗日关系式kikiqqrr函数，仅为时间和广义坐标的和jiiqtrr无关与广义速度jq广义速度tqqqqtkkkNkkiiidd1rrrkNkkiiiqqt1rrr对任意一个广义坐标qj求偏导数kNkkjijijiqqqtqq122rrr如果将位矢对任意一个广义坐标qj求偏导数，再对时间求导数，则得到kNkkjijijiqqqtqqt122ddrrrkiqrkiqtrdd＝第二个拉格朗日关系式nikiiininikiiikiiiqdtdmqdtdmqm111)()(rrrrrrnikiiinikiinikiiinikiiiqmqmdtdqmqdtdm1111)(rrrrrrrrknikiikniiikniiiiknikiiqTqmqTvmqmqqm11211)(21)(21rrrrrrkknikiiiqTqTdtdqm1rrkikiqqrrkikiqqdtdrr),,2,1(01NkqmQnikiiikrrkknikiiiqTqTdtdqm1rr此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力kkqVQ),,2,1(NkQqTqTdtdkkkkkkqVqTqTt)(dd),,2,1(,0),,,,(21NkqVqqqtVVkN＝0)()(dd＝－－－kkkkqVqTqVqTt引入拉格朗日函数L＝T－V得到主动力为有势力的拉格朗日方程0)(ddkkqLqLt对于只具有完整约束、自由度为N的系统，可以得到由N个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的应用OARrM例题4均质杆OA质量为m1、可以绕O端转动,小齿轮A质量为m2，半径为r,其上作用力偶M。求：该杆的运动方程。解：1、系统具有一个自由度，取为其广义坐标。2222212121AAAOJvmJT2、计算系统的动能：2221))(92(121rRmmrrRrvrRvAAA)(其中：OARrM3、计算广义力：2222212121AAAOJvmJT2221))(92(121rRmmMMWQF4、应用拉格朗日方程QTTt)(ddMrRmm221))(92(61221))(92(6rRmmM002221))(92(3ttrRmmM例题5已知：m1,m2,R,f,F。求：板的加速度。FCR解：1、系统具有二个自由度，取x、为其广义坐标。Oxx22221212121CCJvmxmT2、计算系统的动能：2221RmJRxvCC其中：222222143)(21RmxRmxmm3、计算广义力：gfmmFxxFFxWQsFx)()(21(1)令：0δ0δ，x(2)令：0δ0δ，x0FWQFs4、应用拉格朗日方程xQxTxTt)(ddRmxmmxTdtdRmxmmxT221221)()(gfmmFRmxmm)()(21221QTTt)(dd2222222323RmxRmxTRmxRmT023222RmxRm3)(2121mmgmmfFa解得：222222143)(21RmxRmxmmT0QgfmmFQx)(21例题6xOxl0质量为m、长度为l的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动。A端的小圆轮与刚度系数为k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为l0。求：系统的运动微分方程ABkC解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力