三角形-“心”的向量关系

1三角形“心”的向量关系我们都知道，在三角形中，因为有三边和三角，故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心：重心，内心，外心，垂心。不仅要理解其定义、性质，还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具，所以我们有必要对它们进行整理和归纳，让同行借鉴。一．各心的定义。1．重心：三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点，延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2：1。2．垂心：三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3．外心：三角形三边的中垂线的交点，即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。4．内心：三角形三内角平分线的交点，即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二．各心的向量表示。在三角形ABC中，点O为平面内一点，若满足：1．0OCOBOA，则点O为三角形的重心。分析：由OBOCOA，以OCOB,为邻边作一平行四边形OBEC，点D为BC中点，如图，由向量的平行四边形法则，有OBOCOE，交BC于D，从而有OAAOODOE2故O为重心。ABCODE2．OCOBOA，则点O为三角形的外心。3．OAOCOCOBOBOA，或者222222ABOCACOBBCOA，则点O为三角形的垂心。分析：由OAOCOCOBOBOA有三个等式，其中一个如OCOBOBOA，则有0)(OCOAOB，有0CAOB，故ACOB。同理可证，点O为三角2形的垂心。ABCOD而在三角形ABC中，记OAa，OBb，OCc，则由2222BOACCOAB2222)()(bcacba，展开为caba22，则0)(bca故OBAC，同理可证OABC，从而点O为三角形的垂心。4．0OCABOBACOABC，则点O为三角形的内心。分析：若点O为三角形ABC的内心。如图，延长AO，过点C作BOCE//，由于CDEBDO与相似，有DBCDOBCE，由AD为角A的平分线，有ABACDBCD，从而有ABACOBCE，,OBABACCE故OBABACCEABCODE同理可得，BCBDOEOD，BCBDODOE，而BO为角B的内角平分线，ABOABDOD，有OAABBCBCABOAOE，故AOABBCOE而CEOCOE，所以OBABACOCAOABBC，OBACOCABOABC，有0OCABOBACOABC三．动点的轨迹过三角形心的问题：设点P为三角形ABC所在平面内的一个定点，点Q为平面内的一个动点，若满足：1．)(ACABPAPQ，（其中R,0），则动点Q一定过ABC的重心。32．)(ACACABABPAPQ，（其中R,0），则动点Q一定过ABC的内心。分析：由于ACACABAB表示ACAB,方向的单位向量之和，由菱形性质可知，)(ACACABAB为角A的内角平分线。3．)coscos(CACACBABABPAPQ（其中R,0），则动点Q一定过ABC的垂心。分析：下面只需说明CACACBABABcoscos的性质。如图，在ABC中，,BCAD延长AD，过点B作,//ACBM记,1BDa,2CDa,ACb,ABc则21aabBM，baaBM21，故有ACaaBM212aaADAM，ADaaAM2，ADaaAM2ABCODMbca1a2由BMABAM，从而有ACaaABADaa212，CACACBABABaACaABADaaacoscos2121，有AD与CACACBABABcoscos共线，从而，CACACBABABcoscos与BC垂直。44．)coscos(2CACACBABABPCPBPQ（其中R,0），则动点Q一定过ABC的外心。四．三角形的外心O与它的垂心H的关系：)(2HCHBHAOCOBOAOH。在ABC中，以BC所在的直线为x轴，BC的中点为原点建立坐标系。设),(11yxA，)0,(2xB，)0,(2xC。则不难求得它的外心坐标)2)(,0(1212221yxxyO，从而有)2)(3,(12121221yyxxxOCOBOA。它的垂心坐标),(121221yxxxH，从而有))(3,2(12122211yxxyxHCHBHA。向量作为一种新的计算工具，其在不少的规律上有简明的表现，只要我们用心去发现，还能找到更加美丽的关系的。