物理第五章电磁波的辐射

第五章电磁波的辐射)(t)(tj随时间变化的电荷-电流源：又称为辐射源)(tE)(tB形成向远处辐射的电磁波1.电磁波的辐射主要研究辐射出去的电磁场和辐射源之间的关系2.为了简单起见，本章仅研究真空中的辐射场，其出发点是真空中的麦克斯韦方程组3.研究方法:不直接求辐射场，而是先求辐射势，再由势来求场研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达朗贝尔方程的解推迟势利用推迟势讨论小区域电荷电流在远处辐射的电磁场将推迟势作多级展开，得到电偶极辐射电磁场以及平均能流密度和辐射功率的公式§5.1电磁场的矢势和标势内容概要1、引入电磁场的矢势和标势2、规范变换和规范不变性3、达朗贝尔方程一、用势描述真空中的电磁场,A1.预备知识（矢量场的两个基本定理）表明矢量场的旋度是无源场0)(A也可以理解为:无源场可以表示为另一矢量场的旋度0表明标量场的梯度是无旋场也可以理解为:无旋场可以表示为另一标量场的梯度一、用势描述真空中的电磁场,A0tDjHBtBEDff:00HBED对于真空2.引入势的依据(真空中的麦克斯韦方程组)00000tEjBBtBEEff3.电磁场矢势的引入对于磁场:0BAB无论变化还是稳恒均有0)(AA的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭合回路的线积分等于该时刻通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量。注：从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静磁场的矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势是随时间变化的。SLSdBldAA:矢(量)势4.电磁场标势的引入对于静电场:0tBE对于变化电磁场:静电场:0EE:标势(电势)不能象静电场那样直接引入标量势函数0在变化电磁场情况，，不能象静电场那样直接引入标量势函数。0tBEABtAAtE0)(tAEtAE引入标量势函数tAE4.电磁场标势的引入j是标量，仍称为（标）势函数。一般地，j不仅与E有关，而且与B有关，不再具有电势的物理意义。任何电磁场可以用一标量场和一矢量场所描述:AtAEAB说明：在变化情况下电场与磁场发生直接联系，则电场的表示式必然包含矢势A在内。变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势能的概念，标势失去作为电场中的势能的意义。当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，E这时就直接归结为电势。任何电磁场可以用一标量场和一矢量场所描述:AtAEAB问题：若场确定，则势能唯一确定吗？答案：用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的.求解电磁场的问题，变为求解势函数的问题二、规范变换和规范不变性规范A设为任意时空函数,作变换BAA即(A’,’)与(A,)描述同一电磁场.变换式称为势的规范变换.EtAtA当势作规范变换时,所有物理量和物理规律都应该保持不变,这种不变性称为规范不变性.tAA规范变换1、规范变换和规范不变性2.规范对于同一电磁场，电磁势的选择不是唯一的。要确定电磁势，需要给出一定的附加条件或限制，这些附加条件或限制称为规范（1）引入规范可从研究的散度入手，A即限制?A选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。?A2.规范（2）两种常用规范库仑规范0A洛仑兹规范01122tcAtcA或优点：简化矢势和标势满足的的微分方程，使矢势和标势满足的的微分方程对称第五章电磁波的辐射回顾本章的研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达朗贝尔方程的解推迟势利用推迟势讨论小区域电荷电流在远处辐射的电磁场将推迟势作多级展开，得到电偶极辐射电磁场以及平均能流密度和辐射功率的公式三.矢势和标势满足的的微分方程1.推导依据:真空中麦克斯韦方程组、场与势的关系，所取的规范0000tEjBEfftAEAB0A库仑规范：012tcA洛仑兹规范：三.矢势和标势满足的的微分方程1.推导推导过程：0fEftAE)(00tAE02)(fAt（1）tEjBf000tAE2200000tAtjBf而：)(ABAA2)(则有：2001cfjtActcAA0222221)1(（2）02)(fAt（1）一般情况下，真空中电磁场的矢势和标势满足的的微分方程2.两种规范下的电磁势方程库仑规范0A02f（1）fjtActcAA0222221)1(（2）02)(fAt（1）矢势和标势满足的的微分方程：fjtActcA02222211（2）库仑规范下势的方程若采用库仑规范fJμtctAcA02222211020A库仑规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同，其解是库仑势。解出后代入第一式可解出A，因而可以确定辐射电磁场。洛仑兹规范012tcA022221ftc（1）fjtAcA022221（2）称为达朗贝尔方程fjtActcAA0222221)1(（2）02)(fAt（1）矢势和标势满足的的微分方程：洛仑兹规范下势的方程称为达朗贝尔方程洛仑兹规范下势的方程洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的及均为波动形式，反映了电磁场的波动性。),(A),(BE电荷产生标势波动，电流产生矢势波动。达朗贝尔方程实质上是用势表示的电动力学的基本方程。222202222011AAJctct当电场,磁场不随时间变化时，,A与时间无关，方程变为静场的泊松方程2200,,(0)AJA两个方程具有高度的对称性且相互独立，求出一个解，另一个解就迎刃而解。022221ftcfjtAcA022221推迟势推迟势?),(tx?),(txA达朗贝尔方程称为解称为§5.2推迟势本节主要是求解达朗贝尔方程，并阐明其解推迟势的物理意义。得出达朗贝尔方程解(推迟势)的思路电磁场具有叠加性，故交变电磁场中的矢势和标势均满足叠加原理。因此，对于场源分布在有限体积内的势，可先求出场源中某一体积元所激发的势，然后对场源区域积分，即得出总的势。又因矢势的方程与标势的方程在形式上相同，故只需求出的方程的解即可。AA电荷连续分布的带电体电势的求解rdqdVV04dqＰrrdqdV04将带电体分成很多电荷元dq任取dq求出它在空间任意点P的电势对整个带电体积分,可得总电势：一、推迟势的推导:思想:标势和矢势数学形式完全相同，可通过先求出标势在通过替代求出矢势位于坐标原点的点电荷激发的标势位于任意位置的点电荷激发的标势任意电荷分布激发的标势),(txr微元分析法),(),(txdtx随时间变化，任意分布的电荷源的求解),(tx分三步走：位于坐标原点的点电荷Q(t)激发的势ＯrcrtQtrtx04),0(),(),(),(txQxxrxr,),(txＯx'x'xxr'xxrQrcrtxQtx0'4),(),(),0(crt),('crtx表示场点在t时刻的势是位于坐标原点的电荷Q在时刻激发的x),(txcrt表示场点在t时刻的势是位于的电荷Q在时刻激发的x),(txcxxt''x位于任意位置的点电荷Q(t)激发的势'x任意电荷分布激发的标势Ｏxyzx),(tx'x'xxrrcrtxdqtxd0'4),(),(叠加'''0),(41),(dxxcrtxtx'''0),(4),(dxxcrtxjtxA推迟势通过替代求出矢势一般变化电流分布J(x’,t)所激发的矢势为一般变化电荷分布(x’,t)所激发的标势为Vrcrtxtxd4/,',0VrcrtxJtxAd/,'4,0推迟势任意电荷电流系统激发的势令r为源点x’到场点x的距离'xxr一个电荷电流系统t时刻，在空间x点的势（电磁场）不是决定与同一时刻t的电荷分布，而是决定于较早时刻（t-r/c）的电荷电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了r/c。二、推迟势的物理意义0(,)(,)4VrxtcxtdVrVdrcrtxJtxAV),(4),(0推迟势说明电磁作用具有一定的传播速度C0(,)(,)4VrxtcxtdVrVdrcrtxJtxAV),(4),(0某点x在某时刻t的场值，不依赖于同一时刻t的电荷电流分布,而是决定于较早时刻t-r/c的电荷电流分布。而且源的位置不同，所提前的时间也不同。即x点t时刻的势，是由不同地点的源在不同时刻激发的。),(tx2r1r1M2M0BABtBEtAE麦克斯韦方程组:洛仑兹规范012tcA022221ftcfjtAcA022221推迟势达朗贝尔方程称为解称为0(,)(,)4VrxtcxtdVrVdrcrtxJtxAV),(4),(0反过来，推迟势满足洛伦兹条件验证A和满足洛伦兹条件.证明如下:设.对r的函数而言,有,因此crttVrtxJtxAd,'4,0VrtxJrtxJtd,','40不变VtxJrtd,'140不变0VtxtrVtxtrtxtd,'141d,'141,00验证A和满足洛伦兹条件.证明如下:设.对r的函数而言,有,因此crttVrtxJtxAd,'4,0VrtxJrtxJtd,','40不变VtxJrtd,'140不变0VtxtrVtxtrtxtd,'141d,'141,00回顾本章的研究思路以真空中的麦氏方程为依据引入电磁场的矢势和标势导出电磁场的矢势和标势遵循的微分方程达朗贝尔方程求出达