2-晶体学基本知识

第二章晶体结构及其弹性性质•2-1晶体结构和基本概念•2-2晶体的弹性性质•2-3弹性常数与对称性2晶系和布喇菲格子通常描写晶胞的六个物理量是三个基矢的长度和基矢之间的夹角，如图所示a，b，c，，，通常又称为晶格常数，可以由x射线确定根据a，b，c，，，的不同，晶格可分为七大晶系和十四种布喇菲格子3七大晶系sevensysTems晶系名称晶轴上的周期晶轴间的夹角三斜晶系abc90单斜晶系abc==90，90正交晶系abc===90四方晶系a=bc===90六角晶系a=bc==90，=120三角晶系a=b=c==90立方晶系a=b=c===90414BravaisLaTTicesTriclinic:simpleMonoclinic:simple,side-cenTeredOrThorhombic:simple,body-cenTered,face-cenTered,side-cenTeredTeTragonal:simple,body-cenTeredHexagonal:simpleTrigonal:simpleCubic:simple(sc),body-cenTered(bcc),face-cenTered(fcc)5对称性和点群symmeTryandpoinTgroups了解对称性和对称操作，认识晶体的三十二个点群ToundersTandThesymmeTryand32poinTgroupsincrysTals6对称性SymmeTry在我们周围到处都可以碰到对称现象:人的双手是对称的，它可以借助于一个对称面的反映而使之重合；人和镜子里的像也是对称的，这种对称称为镜像对称;四方晶体绕中心轴转90或90的整数倍后，晶体自身重合；六角晶体绕中心轴转60或60的整数倍后，晶体自身重合。7晶体的对称性是由其内部格子结构所决定的。它不仅与晶体的结构有密切关系，而且也于晶体的力学、电学、光学以及压电铁电性质等有密切关系。可以说，晶体的对称性是晶体分类的基础，也是研究晶体其它性质的基础。这里先主要介绍的对称性，不包括平移对称性在内，所以是宏观对称性8晶体结构本身具有对称性，x-射线衍射晶体的物理性质与对称性有关，介电常数，压电常数等研究方便：立方晶体11=22=33，其它ij=0计算方便9对称操作和对称元素能使对称图形复原的动作称为对称操作，例如，前面提到的对称轴的旋转，对称面的反映，此外，对称中心点的反演（或倒反）等，都是对称操作。进行对称操作时，还必须依赖于一定的几何元素，如对称中心、对称面、对称轴等，这些几何元素又称为对称元素10对称性和对称操作11晶体中可能的对称操作12对称中心inversion为一假想的定点，相应的对称操作为对此定点的反演（或倒反）。图2-15表示通过对称中心c把M点反演到M’点。如果把对称中心作为坐标原点，那么对称中心的作用将使点M(x,y,z)反演到点M’(-x,-y,-z)。或者作通过对称中心的任意直线，在此直线上，距对称中心等距离的两端，一定可以找到相对应的点M和M’。对称中心的国际符号是“”。113图2-1514对称面（镜面）mirror为一假想平面，相应的对称操作为对此平面的反映。对称面将图形分为镜像反映的两个相等的部分。图2-16表示通过对称面m把M反映到M’。对称面在图形上常用双线或粗线表示，国际符号为“m”。15图2-16m16旋转轴（对称轴）roTaTion为一假想直线，相应的对称操作为对此轴线的旋转。一个晶体如绕此轴旋转360/n后，能够复原，则称此晶体具有n次旋转轴或简称n次轴。由于晶体结构的周期性（即晶体的平移对称性）给晶体的转动对称性带来了严格的限制，即n只能等于1、2、3、4、6，或者说晶体只可能具有1、2、3、4、6次旋转轴，不可能具有5次或高于6次的旋转轴。1718旋转轴符号19旋转倒反轴（像转轴）这是一个复合对称元素。它是一个假象的直线和此直线上的一个定点，相应的对称操作为对此轴线转2/n角度后，接着再对此点进行倒反。若晶体经过这个操作后能够复原，则称此晶体有n次旋转倒反轴。RoTaTion-inversion与旋转轴的情况一样，晶体也只能有1、2、3、4、6次旋转倒反轴，而不能有5次或6次以上的旋转倒反轴。旋转倒反轴的国际符号为、、、、。12346202122232425MM24MM（a）（b）2次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作（a）2次旋转倒反轴操作；（b）对称面操作2次旋转倒反轴操作等效于一个对称面操作对称变换间的等效关系m2263次旋转倒反轴等效于3次旋转轴加上对称中心，即i33276次旋转倒反的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果相同，即m3623228知道了晶体的八个基本的宏观对称元素后，下一个问题就是：在晶体中，究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在？它们的组合方式有多少种？在数学上，把对称元素（或对称操作）的集合叫做“对称群”。因为上述对称元素中，不包括平移对称性，进行对称操作时总是有一点保持不动，所以只包括上述对称元素的集合叫做“点群”。1234614m2932poinTgroups人们经过长期研究的结果，发现这八种对称元素共有32种组合方式，即32种点群。这32种点群对应于晶体的32种宏观对称类型，就是说自然界千千万万种晶体，可以归纳为32种宏观对称类型。晶族晶系对称特点对称类型国际符号熊夫利斯符号低级晶系三斜无高次轴只有1次轴（或1次旋转倒反轴）1C111Ci2单斜只有1个方向上具有2次轴（或2次旋转倒反轴）2C23m2Cs4/m2C2h5正交在3个相互垂直的方向上有2次轴（或2次旋转倒反轴）222D26mm2C2v7mmmD2h8中级晶族四方只有1个高次轴有1个4次轴（4次旋转倒反轴）4C494S4104/mC4h11422D4124mmC4v13m24D2d144/mmmD4h15三角有1个3次轴（3次旋转倒反轴）3C3163C3i1732D3183mC3v19m3D3d20六六角有1个6次轴（6次旋转倒反轴）6C6216C6i226/mC6h23622D6246mmC6v25m26D3d266/mmmD6h27高级晶族立方有几个高次轴有4个3次轴23T28m3Th29432O30m34Td31m3mOh3231小结summary对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要！只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非晶磁性材料。32晶体中的点群由于无限大周期性的限制，晶体中的对称操作只能有：1，2，3，4，6，，m,；由这些对称操作所构成的集合就是晶体中的点群；晶体中一共有32个这样的点群；4133晶轴和直角坐标轴34晶轴和直角坐标轴的选择晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于90，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。35三斜晶系晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是c轴为直立，b轴为左右并向右倾，a轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为bac，晶轴间的夹角为，并有90，90。坐标轴（x、y、z）。目前都选择z轴与晶轴c重合；x轴在晶轴a和c组成的平面内，并指向+a方向；y轴垂直于ac平面，并指向+b方向，如图1-23所示。36图2-23三斜晶系中的晶轴与坐标系37单斜晶系晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为b轴，并在与b轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为c轴和a轴。晶格常数大小为：abc，ac，晶轴之间夹角为==90，90。单斜晶系的实例如图1-24所示。坐标轴（x、y、z）。目前选择y轴与b轴重合；z轴与c轴重合，x轴垂直于bc平面，如图2-25所示。38图2-24单斜晶系中的晶轴39图2-25单斜晶系中的坐标系,其中y轴是二次旋转轴40正交晶系晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在222点群和mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为a、b、c轴；在mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为c轴，选两个对称面的法线方向为a轴和b轴，晶格常数大小为：cab，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。正交晶系的实例如图1-26所示。41图2-26酒石酸钾钠（KNT）在非铁电相时属于222点群，其中a、b、c轴都是二次旋转轴42四方晶系晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为c轴，选一个二次轴为a轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为a轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。四方晶系的实例如图1-27所示。43图2-27四方晶系的晶轴44三角晶系和六角晶系晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为c轴，选二次轴或对称面的法线为a、b轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为==90,=120。坐标轴（x、y、z）。通常选z轴平行于c轴，x轴与a轴一致，y轴垂直于ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图2-28和图2-29所示。45图2-28-石英晶体属于32点群，c轴为三次轴，a、b、d轴为二次旋转轴46图2-29碘酸锂晶体属于6点群，c轴为6次旋转轴47立方晶系晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为a、b、c轴。晶格常数大小为：a=b=c，晶轴之间夹角为===90。坐标轴（x、y、z）。通常选择晶轴a、b、c为坐标轴x、y、z。48X-axisZ-axisY-axis49summarySpacegroups，glideandscrewCrysTalaxisandCarTesianaxisCasesTudy画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系50晶系国际符号晶轴坐标轴cabdxyz三斜cab90,901⊥(010)c1⊥(010)c单斜cab909022⊥(100)bcm21/m⊥(100)bc/m22⊥(100)bc正交cab90222222abcmm221/m1/mabcmmm222abc四方a=b≠c9044abc44abc4/m4abc422422abc4mm41/m1/mabcm24422abc4/mmm422abc三角a=b=d≠c9012033ac33ac32322ac3m31/m1/macm3322ac六角a=b=d≠c9012066ac66ac6/m6ac6226ac6mm6acm266ac6/mmm6ac立方a=b=c90232abcm32abc4324abcm344abcm3m4abc51晶体的弹性性质应力、应变张量，虎克定律弹性常数与对称性弹性波在晶体中传播52压电铁电晶体是电介质，它具有介电性质；同时压电铁电晶体又是弹性介质，它又具有弹性性质，而压电效应就是反映了它的介电性质和弹性性质之间的耦合作用。不同