第九章习题答案高数下

高等数学作业册班级姓名第9章第1页作业9—1一.填空:1.已知D是长方形域：,10;ybxa且Ddxyf1)(，则badxxf)(2.解：Ddxyf)(baydydxxf10)(21badxxf)(故badxxf)(22.若D是由1yx和两个坐标轴围成的三角形域,且Ddxxdxdyxf10)()(,那么.)(x)()1(xfx解：Ddxdyxf)(xdyxfxdx1010)(10)()1(dxxfx10)(dxx二、单项选择题：1．设1D是正方形域，2D是1D的内切圆，3D是1D的外接圆，1D的中心在（-1，1）处，记1I=12222Dxyxydxdye;2I=22222Dxyxydxdye;3I=32222Dxyxydxdye.则1I，2I，3I大小顺序为（B）。A．1I2I3IB.2I1I3IC.3I2I1ID.3I1I2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213DDD，故2I1I3I2.设D是第二象限的一个有界闭区域,且10y，记1I=Ddyx3;2I=Ddxy32;3I=Ddxy321.1I,2I,3I的大小顺序是()。高等数学作业册班级姓名第9章第2页A．1I2I3IB.2I1I3IC.3I1I2ID.3I2I1I解：因10y，故212yyy，而03x，从而323321xyyxxy，选（C）。三．利用二重积分定义证明：1．Dd（其中为D的面积）解：iniiiDfd10),(lim1ini101lim010limlimini故Dd（其中是各i的最大直径）2．kdyxkfD),(Ddyxf),(（其中k为常数）解：Ddyxkf),(iniiif10),(liminiiifk10),(liminiiifk10),(limDdyxfk),(（k为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值：1．}10,10|),{(,)(DyxyxdyxxyI其中Ｄ解：10,10yx2)(0yxxyDDddyxxy22)(02．}4|),{(,)49(22DyxdyxI２２ｙｘ其中Ｄ解：中在D,422,22222249499yxyxyx高等数学作业册班级姓名第9章第3页2549922yx25)49(922DDdyxd即10036I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小：1．DDdyxdyx32)()(与其中积分区域D是由圆周2)1()2(22yx所围成。解：在由x轴、y轴、直线1yx所围成的三角形区域上，10yx23)()(0yxyxDDdyxdyx32)()(2．DDdyxdyx2)][ln()ln(与，}10,53|),{(yxyx其中Ｄ解：10,53yx，yxe32)ln()ln(,1)ln(yxyxyxDDdyxdyx2)][ln()ln(作业9—2一.填空:1.若10)()(10212),(),(dxyxfdydyyxfdxyxyxxx，则))(),((21yxyx),(yy.解：1010),(),(2dxyxfdydyyxfdxyyxx，故))(),((21yxyx),(yy2.若10)()(0110101021),(),(),(dxyxfdydyyxfdxdyyxfdxyxyxxx，则))(),((21yxyx)1,1(yy.解：101101101010),(),(),(dxyxfdydyyxfdxdyyxfdxyyxx高等数学作业册班级姓名第9章第4页故))(),((21yxyx)1,1(yy3.积分12)(yxdxdyyx32.解：由积分区域的对称性知，01yxxydxdy，1212124Dyxyxdxdyxdxdyydxdyx，其中积分区域1D是D在第一象限部分，故原积分810102dyxdxx32)(1032dxxx4.设D由x轴和]),0[(sinxxy所围成，则积分Dyd4解：DydDydxdy0sin0dyydxx4sin2102xdx5.积分1012dyedxxy1121e解：1012dyedxxy10101012122edyyedxdyeyyy6.积分1222)2(yxdxdyyx45解：由对称性知：0122yxxydxdy，1222yxdxdyx1222yxdxdyy故原积分1221222222)(25)4(yxyxdxdyyxdxdyyx254520103drrd高等数学作业册班级姓名第9章第5页二、单项选择题1.记D是由10),0(xykkxy和围成的域，且Ddxdyxy，1512k则（A）。A．1B．354C．3151D．3152解：原积分kxkdxxkdyyxdx010343210153，1k2.将极坐标下的二次积分I=2/4/sin20)sin,cos(drrrrfd化为直角坐标下的二次积分,则I=(C).A．1012),(xxdyyxfdxB.10112),(xxdyyxfdxC.100),(ydxyxfdy+21202),(yydxyxfdyD.1022),(yyydxyxfdy解：先对y积分的正确结果是10112),(xxdyyxfdxI,交换积分次序即为（C）。三.改变累次积分的次序:1.2022;),(yydxyxfdy解：2022),(yydxyxfdy402),(xxdyyxfdx2.exdyyxfdx1ln0;),(解：exxdyyxfdxdyyxfdx1ln011102),(),(高等数学作业册班级姓名第9章第6页3.224220),(xxdyyxfdxI.解：224220),(xxdyyxfdxI224210),(xxdyyxfdx222421),(xxdyyxfdx1),(Ddyxf2),(Ddyxf22632430402320322222),(),(),(),(yyyydxyxfdydxyxfdydxyxfdydxyxfdy4.xdyyxfdxIsin020),(.解：xdyyxfdxIsin00),(0sin2),(xdyyxfdx1),(Ddyxf2),(Ddyxfyyyaecyaecdxyxfdydxyxfdyarcsin2arcsin01sinsin10),(),(四.计算:1.12102xydyexdxI.解：由于2ye的原函数不是初等函数，故交换积分顺序计算yxydxexdyI2210103231dyeyy1031dttet)(2yte21612.计算积分DdxdyxyI,其中D是圆222Ryx.解：由积分区域的对称性知只要在第一象限计算方法一：402200212422RdxxRxxydydxIRxRR方法二：极坐标：4032021cossin4RdrrdIR高等数学作业册班级姓名第9章第7页3.计算积分yxyxdxdyyxI22.解：极坐标：cossin02434)cos(sindrrdId4434)cos(sin312)2sin2sin1(312434d4.计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=o及2x+3y+z=6截得的立体的体积.解：该立体可看作以}10,10|),{(yxyxＤ为底，以yxz326为顶面的曲顶柱体，其体积},)326(DdyxV其中1010)326(dyyxdx10)2326(dxx272316五．化下列二次积分为极坐标的二次积分：1．1010),(dyyxfdxI解：40:1D，sec0r；24:2D，csc0r1010),(dyyxfdxIDdxdyyxf),(21),(DDdxdyyxf4024csc0sec0)sin,cos()sin,cos(rdrrrfdrdrrrfd高等数学作业册班级姓名第9章第8页2．xxdyyxfdxI32220)(解：34:D，sec20rxxdyyxfdxI32220)(Ddxdyyxf)(2234sec20)(rdrrfd六．选用适当的坐标系计算下列各题：1．Ddyx22，其中D是由直线2,xxy以及1xy所围成的闭区域。解：直角坐标系：Ddyx22xxdyydxx12212121121dxyxxx213)(dxxx49124242xx2.Ddyx在＝１极作标轴所围成的ｙ其中Ｄ是由圆周ｘ２２,)1ln(22第一象限内的闭区域；解：极坐标系：Ddyx)1ln(2220102)1ln(rdrrd1022)1()1ln(221rdr1022201)1ln()1(4rdrrr12ln24高等数学作业册班级姓名第9章第9页作业9—3一.填空:1.已知立体是椭球体：324222zzyx，记,,,321zdvIydvIxdvI（321,,III）=.解：是椭球体：1414222zyx，体积316V，形心为1,0,0故316,0321III2.积分12222)(zyxdvbyax解：由积分区域对称性知：dvzyxdvzdvydvxxydv22222231,012222)(zyxdvbyaxdvzyxba222223110402022sin3dddba)(1522ba二．单项选择题：1.设1由ozRzyx,2222确定。2由0,0,0,2222zyxRzyx所确定，则（C）.A．124xdxdB.124ydydC.124zdzdD.124xyzdxyzd解：被积函数中只有z而不含有yx,时，在1中是yx,的偶函数，故选（C）。高等数学作业册班级姓名第9章第10页2．将在直角坐标下的三次积分：I=02222222222).,(xaxayxaayxaadzzyxfdydx化为球坐标下的三次积分，则I=（）.A．