板壳力学读书报告

-1-板壳力学读书报告李晗2013级工程力学2班2013301890037板壳力学，顾名思义，主要内容就是板和壳，就教材而言，前面第十三章到第十八章是板的内容，主要也是薄板，包括薄板的小挠度弯曲问题、薄板的振动问题、薄板的稳定问题以及薄板的大挠度问题，后面从第十九章到第二十二章是壳的内容，主要包括壳体的一般理论，柱壳、旋转壳以及扁壳问题。板壳力学是弹性力学的下册，自然是和弹性力学紧密地联系在一起的，弹性力学中有四条基本假设，同样，在板壳力学中也有几条假设，分别如下：1)板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的；2)板壳是线弹性的；3)板壳的变形是微小的；4)直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变；5)法向应力很小，可以忽略；6)板的中面没有变形。除了这几条基本假设，弹性力学中的平衡方程、物理方程以及几何方程在板壳力学中也有广泛地应用。一、板的问题板的中面为一个平面，板分为薄板和厚板，所谓的薄和厚，主要是看板的厚度与中面最小尺寸b的相对关系，如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b（例如小于/8b至/5b），则称其为薄板，反之则称其为厚板。1、薄板的小挠度弯曲问题所谓薄板的小挠度弯曲问题，就是指这样的薄板：板虽然很薄，但是仍具有相当的弯曲刚度，因而板受横向荷载时挠度远小于它的厚度，这种问题就是板的小挠度弯曲问题，如果板的挠度和板的厚度同阶，则称其为大挠度弯曲问题。薄板的小挠度弯曲问题有三个基本假定，分别为（1）垂直于中面方向的正应变z为零；（2）应力分量zx、zy、z远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以忽略，但是它们本身却需要维持平衡，所以他们本身不可以忽略，这一点还是很奇妙的；（3）薄板中面内的个点都没有平行于中面的位移，这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但是它在xy平面上的投影形状却不变，从这可以推-2-导出，一个薄板，即使它受到横向荷载的作用，但是在小挠度弯曲问题的背景下，它在水平面上的投影依然保持不变。薄板的小挠度弯曲问题按位移求解，取薄板的挠度w为基本未知量，经过前面的一系列假设以及弹性力学的三个基本方程，可以推导出薄板的弹性曲面微分方程为4Dwq（1）式中D为薄板的弯曲刚度，为3312(1)E，一般求解薄板的小挠度弯曲问题时，现根据边界条件和弹性曲面微分方程求出挠度w，然后可以依次根据变换式求出应力分量。就薄板的边界条件，如果薄板的边界受有扭矩，则可以根据基尔霍夫的理论，将扭矩变换为等效的横向剪力，原来的横向剪力进行合并，这样子就可以大大减少运算的困难度。在薄板的小挠度弯曲问题中，纳维解法和莱维解法则分别根据薄板是四边简支和两个对边被简支这两种特殊边界来求解的。而对于圆形薄板的问题，用极坐标就更为简便，可以将前面章节中的直角坐标用弹性力学中的变换方法变换成极坐标即可。前面所讨论的问题均为薄板的厚度不变的这种情形，如果是变厚度薄板，则相对来说处理比较困难，这时必须把弯曲刚度D看作是x和y的函数，这时候弹性曲面微分方程也会有很大的变化，随着薄板的厚度的不同变化规律，微分方程的系数也就取不同的函数形式，这时候就需要不同的求解方法，考察常见的厚度沿某一方向线性变化，这是一种特殊的情况，也是较为简单求解的情形。2、差分法和变分法求解薄板的小挠度弯曲问题在求解薄板的小挠度弯曲问题时，需要求解一个四阶的微分方程，计算量很大，因而人们就想到了运用差分法和变分法进行求解，在薄板的中面上织成网格，根据弹性曲面微分方程和边界条件的差分形式，求出挠度在各点的数值，从而求得内里在各结点出的数值，以及边界上各结点出的反力数值。经过证明推导，差分法对于集中荷载的问题、变集度的分布荷载、文克勒地基上的基础板、连续板的问题、变厚度板的问题以及温度应力的问题均有很好的解决方法。同时，弹性力学中的里茨法和伽辽金法在这个地方也有很好的应用。3、薄板的振动问题-3-薄板的振动，分为自由振动和强迫振动，根据振动力学的解释，自由振动就是在振动过程中不受外力的作用，只在初始时收到力的作用，而强迫振动则是在振动过程中一直受到强迫力的作用，讨论最多的还是薄板的自由振动。根据教材，薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去之后，在平衡位置附近作微幅振动。谈到振动，自然就少不了频率，频率是振动问题中最关键的一环。依然是从弹性曲面微分方程开始，这时候所受荷载q就变成q和惯性力iq的和，此时微分方程变成242ttwDwqmt，为了简便，把薄板的挠度从平衡位置开始算起，建立起薄板的自由振动微分方程为2420mwwDt，对于这个微分方程，假设挠度w可以展开成三角级数与一个振型函数(,)Wxy的乘积，为了求出各种振型下的振型函数mW以及相应的频率m，我们取(cossin)(,)wAtBtWxy，代入到振动微分方程中去，消去因子cossinAtBt，即可得到42DWmW，求出相应的频率。这是求解自由振动频率的一种方法，从前面讨论的问题可知，也可以采用差分法求解自由振动频率。4、薄板的稳定问题根据材料力学中，当一根杆受压时会失稳，这个现象同样也存在于薄板之中，通过前面的讨论我们得知，当一个薄板受到横向荷载的作用时，会产生弯曲，也就是挠度的产生，同样，当一个薄板受到纵向力时，也会产生纵向弯曲，发生伸缩和切应变，这是每单位宽度的平面应力将合成所谓的中面内里或薄膜内力TxF、TyF、TxyF以及TyxF，其中TxF和TyF是拉应力，TxyF和TyxF是平错力或者纵向剪力。当薄板在边界上受有纵向荷载时，板内将发生一定的中面内力，如果这个中面内力在各个部位、各个方向都不是压力，则此时薄板的平衡状态是稳定的，但是，如果纵向荷载所引起的中面内力在某些部位、某些方向上是压力，则当纵向荷载超过临界荷载是，薄板的平衡状态就是不稳定的，这就是说，在薄板收到横向干扰力的而弯曲以后，即使干扰力被撤去，薄板也无法-4-恢复到原来的平衡状态。从这儿的分析来看，求出临界荷载就显得相当重要了，这依然需要用到弹性曲面微分方程，不过此时横向荷载q需要换成22xwFx。求解临界荷载，书上给出了差分法和能量法以及微分方程求解三种方法。5、薄板的大挠度弯曲问题前面讨论的问题均以薄板的小挠度弯曲问题为背景，但是就像最前面说的那样，薄板也有大挠度问题，就是薄板的挠度不一定远小于厚度，这时候，薄板的挠度虽然并不远小于厚度，但是仍然远小于中面的尺寸，所以说前面推导的平衡微分方程00TxyTxTyTxyFFxyFFyx（2）以及弹性曲面微分方程222422(2)TxTyTxy（3）依然适用。所不同的是，这里的中面内力是有横向荷载q引起的，而不是由纵向荷载引起的。由卡门首先推导出来的薄板的大挠度微分方程组222222422222224222(2)[()]（4）求解薄板的大挠度弯曲问题，就需要在边界条件下从这个微分方程组求解应力函数和挠度w，然后就可以由求出中面内力，由w求出弯扭内力。但是这是一个非线性微分方程组，求出它们的精确解很难，这时候就可以用差分法求解他们的近似解。此外，也可以用摄动法和变分法来求解特殊情况下的薄板大挠度弯曲问题——圆板的轴对称问题。二、壳的问题-5-所谓壳体，根据教材的解释，就是两个曲面所限定的物体，如果曲面之间的距离比物体的其他尺寸为小，就称其为壳体，相对于板，壳体的中面为一个曲面，不再是一个平面。壳体可以是等厚度的，也可以是变厚度的，这一点同板一样，但是，壳体的变厚度问题很复杂，所以这里一般讨论等厚度壳体。壳体也有薄壳和厚壳，如果壳体的厚度远小于壳体中面的曲率半径R,这个壳体就称为薄壳，反之则称为厚壳。在壳体理论中，也有一些计算假定：1)垂直于中面方向的线应变可以不计；2)中面的法线保持为直线，而且中面法线及其垂直线段之间的直角保持不变，也就是该二方向的切应变为零；3)与中面平行的截面上的正应力（即挤压应力），远小于其垂直面上的正应力，因而它对形变的影响可以不计；4)体力及面力均可化成作用于中面的荷载。薄壳与同跨度、同材料的薄板相比，它能以小得多的厚度承受相同的荷载，这也就是为什么薄壳结构被广泛地应用于各种工民建中的原因。常见的壳体有柱壳、旋转壳以及球壳。1、正交曲线坐标与薄壳的无矩理论要建立完整的壳体的一般理论，需要借助于弹性力学空间问题的一般理论，但是壳体的中面是一个曲面，这就需要借助正交曲线坐标来解决问题。中面内的拉梅系数与主曲率之间的关系，也就是高斯条件：121()()BAkkABA(5)科达奇条件：1221()()AkAkBkBk（6）是可以用来简化计算的。在壳体理论中，我们不以壳体内一般点的位移、形变、应力作为讨论对象，而是以中面位移、中面形变、以及应力向中面简化得来的内力为讨论对象。我们可以建立中面形变与中面位移之间的关系，得出壳体的几何方程；建立中面形变与内力之间的关系，得出壳体的物理方程；-6-建立内力与荷载之间的关系，得出壳体的平衡方程；最后再将壳体的边界条件用中面位移或内力表示。所谓壳体的无矩理论，就是假定薄壳的所有横截面上都没有弯矩和扭矩。也就是10M,20M,120M,这样子，薄壳理论中的平衡方程、物理方程以及几何方程将得到简化。在无矩状态下，薄壳的内力只是薄膜内力，应力是沿薄壳厚度均匀分布的，材料的强度得到充分的利用，因此，为了节省材料，薄壳结构应尽力做到无矩状态。2、柱壳柱壳就是以柱面为中面的薄壳，因为这种薄壳在纵向没有曲率，所以说这种薄壳在计算时就相对来说简单一些，在无矩理论的平衡方程中，令0AB,120,1/kkR，就得到柱壳的无矩理论平衡方程。常见的柱壳有容器柱壳和顶盖柱壳，都可以用无矩理论来进行计算，不论柱壳的直线边界如何，前面导出的无矩内力公式，在直线边界处都不能符合实际情况。但是，当柱壳的纵向长度很小的时候，无矩内力的公式可以在整个柱壳中大致反映实际情况。顶盖柱壳使用三角级数解答来计算时，过程是很复杂的，在实际工程中可以采用一些简化计算法，比如说半无矩理论，半无矩理论有如下几个假定：（1）在内力方面，在为常量的横截面上，弯矩和扭矩可以不计，也就是取1120MM；（2）在形变方面，可以不计中面的环向线应变和切应变，也就是取2120，并且可以不计环向曲率的改变，也就是取20；（3）在弹性方面，可以不计泊松比的影响，也就是取0。3、旋转壳所谓的旋转壳，就是以旋转面为中面的薄壳，旋转面是由平面曲面绕其平面内某一轴旋转而成的曲面。在旋转壳中也存在无矩理论，在薄壳无矩理论平衡方程中令12121211,sin,,ARBRkkRR，即得到旋转壳的无矩理论平衡方程。同理也可以得到旋转壳的无矩理论弹性方程。依教材而言，关于旋转壳的弯曲问题，我们将限于球壳的轴对称弯曲，因为这种问题在工程上常见一些，而对于非球壳的问题或者球壳的一般弯曲问题，数学运算就将会十分困难。解题过程一般为现根据边界条件和混合法的微分方程求解出1SF和，然后再球的1TF及2TF,最后再求得1M及2M。-7-4、扁壳所谓扁壳，就是这样扁平的壳：它的中面的最大矢高，远小于它的底面的尺寸。一般来说，为了更好地发挥壳的作用，从而节省材料，通常会采用双曲扁壳，而不是柱面扁壳。需要说明的是，在扁壳中也可以使用无矩理论。经过推导，可以得出扁壳的一个简化的计算方法，步骤如下：（1）按照无矩理论计算无矩内力，如果无表可查，可使用差分法进行计算；（2）在边界条件20,()0ssww这种情况下，由微分方程432EDwwqR求解位移w，并求出弯矩和扭矩。由于弯矩和扭矩不如薄