(新课标)2017高考数学一轮复习-第二章-函数、导数及其应用-第11讲-利用导数研究函数的单调性、

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索新课标版·高考总复习函数、导数及其应用第二章第十一讲利用导数研究函数的单调性、极值、最值(理)第二章知识梳理·双基自测1考点突破·互动探究2纠错笔记·状元秘籍3课时作业4知识梳理·双基自测1.函数的单调性与导数函数y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)在(a，b)上任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为__________；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为__________.●知识梳理增函数减函数2.函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值__________，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧___________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.都小f′(x)＜0f′(x)＞0(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值__________，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，__________和__________统称为极值.都大f′(x)＞0f′(x)＜0极大值极小值3.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上__________有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)__________有最大值与最小值.(2)求最大值与最小值的步骤：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的______值；②将f(x)的各_______值与__________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.必不一定极极f(a)，f(b)1.下列结论正确的打“√”，错误的打“×”.导学号25400490(1)若函数f(x)在(a，b)内恒有f′(x)＞0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)函数y＝12x2－lnx的单调减区间为(－1,1).()●双基自测(3)在函数y＝f(x)中，若f′(x0)＝0，则x＝x0一定是函数y＝f(x)的极值.()(4)函数的极大值不一定比极小值大.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－2P27T4改编)函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________.导学号25400491[答案](ln2，＋∞)[解析]f′(x)＝ex－2，ex－2＞0，得x＞ln2，增区间为(ln2，＋∞).3.(选修2－2P30练习BT4改编)若f(x)＝ax3＋3x＋2无极值，则a的范围为________.导学号25400492[答案][0，＋∞)[解析]f′(x)＝3ax2＋3，Δ＝－36a≤0，∴a≥0，故填[0，＋∞).4.(2015·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.导学号25400493[答案]y＝－1e[解析]∵y′＝(1＋x)ex，极值点为(－1，－1e)，∴切线的斜率k＝y′|x＝－1＝0，因此切线方程为y＝－1e.5.(2015·湖北黄冈上学期1月调研)已知a≥1，f(x)＝x3＋3|x－a|，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为导学号25400494()A.8B.－a3－3a＋4C.4D.－a3＋3a＋2[答案]C[解析]当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3＋3(a－x)＝x3－3x＋3a(a≥1)，对函数求导得f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，当－1≤x≤1时f′(x)≤0，所以f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4，故选C.考点突破·互动探究(改编题)已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1.导学号25400495(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对任意的x1＞x2＞0，总有fx1－fx2x1－x2≥2，求a的取值范围.利用导数研究函数的单调性[分析](1)根据a的取值对f′x符号的影响分类讨论(2)将已知条件进行转化→构造函数→对a进行分离变量求解[解析](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＋2ax＝2ax2＋a－1x.①当a≥1时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当0＜a＜1时，令f′(x)＝0，解得x＝1－a2a，则当x∈(0，1－a2a)时，f′(x)＜0；当x∈(1－a2a，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，1－a2a]上单调递减，在[1－a2a，＋∞)上单调递增.(2)因为对任意的x1＞x2＞0，即x1－x2＞0，总有fx1－fx2x1－x2≥2，所以f(x1)－f(x2)≥2(x1－x2)，即f(x1)－2x1≥f(x2)－2x2.又x1＞x2，故函数f(x)－2x在(0，＋∞)上单调递增.令g(x)＝f(x)－2x，则g′(x)＝a－1x＋2ax－2，由g(x)在(0，＋∞)上单调递增，得a－1x＋2ax－2≥0，故(1x＋2x)a≥2＋1x.因为x＞0，所以a≥2＋1x1x＋2x＝2x＋11＋2x2，令t＝2x＋1，则x＝t－12.因为x＞0，所以t＞1.从而a≥t2t－122＋1＝tt2－2t＋12＋1＝2t＋3t－2.因为t＞1，所以t＋3t≥2t×3t＝23，当且仅当t＝3时等号成立，则2t＋3t－2≤223－2＝3＋12，即2t＋3t－2的最大值为3＋12，故不等式a≥2t＋3t－2恒成立的条件是a≥3＋12.故a的取值范围为[3＋12，＋∞)[点拨]讨论含参函数的单调性，大多数情况下归结为对含有参数的不等式的解集的讨论，注意根据对应方程解的大小进行分类讨论.[规律总结](1)用导数求函数的单调区间的“三个方法”①当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间.②当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.③不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导数并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间.(2)根据函数单调性求参数的一般思路①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.②转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解.提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(2015·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x).导学号25400496(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.[解析](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增.若a＞0，则当x∈(0，1a)时，f′(x)＞0；当x∈(1a，＋∞)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0，1a)单调递增，在(1a，＋∞)单调递减.(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a＞0时，f(x)在x＝1a取得最大值，最大值为f(1a)＝ln1a＋a(1－1a)＝－lna＋a－1.因此f(1a)＞2a－2等价于lna＋a－1＜0.令g(a)＝lna＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.于是，当0＜a＜1时，g(a)＜0；当a＞1时，g(a)＞0.因此，a的取值范围是(0,1).已知函数f(x)＝－x3＋x2x＜1，alnxx≥1.导学号25400497(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.利用导数研究函数的极(最)值[分析](2)结合1的求解过程→将x分成－1≤x＜1与1≤x≤e，a分成a＞0与a≤0考虑→求得结论求函数的极(最)值的答题模板求导——求出已知函数fx的导函数f′x解方程——解方程f′x＝0，求出其解[解析](1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝23.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，23)23(23，1)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值故当x＝0时，函数f(x)取得极小值为f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝23.(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和[23，1)上单调递减，在[0，23]上单调递增.因为f(－1)＝2，f(23)＝427，f(0)＝0，所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x≤e时，f(x)＝alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.[规律总结](1)求函数f(x)极值的方法①确定函数f(x)的定义域.②求导函数f′(x).③求方程f′(x)＝0的根.④检查f′(x)在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果f′(x)在这个根的左右两侧符号不变，则f(x)在这个根处没有极值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最值的方法①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(2015·石家庄模拟)已知x＝2是函数f(x)＝(x2＋ax－2a－3)ex的一个极值点.导学号25400498(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在x∈[32，3]上的最大值和最小值.[答案](1)a＝－5(2)最小值e2，最大值e3[解析](1)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－a－3]·ex∵f′(2)＝0，∴[4＋2(a＋2)－a－3]·e2＝0解得a＝－5.(2)f′(x)＝(x－1)(x－2)ex，f(x)在(32，2)上递减，在(2,3)上递增，最小值为f(2)＝e2，又f(32)＝74e32，f(3)＝e3＞f(2)，故最大值为e3.导函数的综合应用(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝emx＋x2－mx.导学号25400499(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围.[解析](1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x