抢渡长江的数学模型数学建模

抢渡长江的数学模型摘要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型.模型一根据问题一给出的条件为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择了游泳方向，并算出了他的成绩为15分10秒，游泳方向为和正河岸成86.121，并且求出了冠军的速度大小为1.54米/秒，和正河岸的夹角为46.117。然后分析了1934年和2002年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，并给出了能够成功到达终点的选手的条件，其中2002年达到终点的选手的最小速度为1.43米/秒。在对随后问题的分析过程中，我们提出了依据水速的变化来变竞渡者速度的方向的思路，然后基于此思路建立了模型二，模型三，在保证能到达终点的前提条件下，提出了竞渡策略,使得到达终点的时间最短。而模型四又提出了一种比较理想化的竞渡策略，即依据水速的变化随时变换人的速度方向，并根据所得的结果提出了一个较合理的水速分布函数，而根据实际情况分析了水速的另一个更为合理的分布函数，建立了改进后的模型五。利用LINGO和MATHMATIC数学软件较好地解决了问题，得到了问题优化解，提出了竞渡策略。在模型二中，求出三个不同区域的速度方向分别为11.126,09.118,11.126321最小时间sT0228.904min，并画出最优路线如图3。在模型三中，也求出了三个不同区域的速度方向分别为26.127,59.114,26.127321，最小时间秒4776.892minT，也绘出最优路线如图4所示）。在模型四中，求得最小时间为885.747秒。在最后又将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空,航天和航海等。一、问题提出中国第一大江——长江万里奔腾龙跃武汉，引出了一道亮丽的风景“渡江大赛”。在看似简单的渡江大赛中玄机不断，奥妙百出。玄机一：同一条江为何在1934年的横渡长江游泳竞赛活动中，44人参加就有40人到达终点，而在2002年的“武汉抢渡长江挑战赛”中186名选手（其中专业人员近一半），仅34人到达终点，相差如此悬殊，其中奥秘耐人寻味。玄机二，在高手如云的参赛选手中为何拿到男女冠军的却分别是中国高中生宋济和17岁的美国女学生爱瑞克·罗斯呢？难道他们自有秘诀？为此本文建立了数学模型很巧妙的解决了上述疑问，仔细分析实际问题其实万事皆有原因，答案尽在其中。二、问题分析在渡江问题中，我们先简化现实问题建立数学模型，在前两问中由于游泳者的速度和方向不变，竞渡区域每点流速均为1.89米/秒，（由定理一）只需保证游泳者能朝着起点（武昌汉阳门码头）到终点（汉阳南岸咀）的方向前进即可。根据第一名的游泳时间和向量分析很容易就可算得她的游泳方向和速度，同时将速度1.5米/秒带入模型中即可得此人的游泳方向，并估算出他的成绩为15分12秒。如果游泳者始终沿和岸边垂直方向游，则他（她）的速度必须达到2.19米/秒，而这一速度是一般人是达不到的（奥运会百米游泳冠军的速度为2.09米/秒）。1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差距主要是由于游泳路线的不同以及水速的差异从而导致到岸的最小速度发生变化，由MATHMATIC算得两个最小速度分别为1.4315米/秒和0.4271米/秒，显然达到前一速度更难。而同时在L不同的情况下所要求的游泳者游泳角度也不同，分别为117.46和30.41，很容易看出当L越小游泳者开始的角度就越大，而根据一般人惯例很少会选择大角度。第三问中流速离岸边距离成三段不同分布区域，游泳者保持速度大小不变，游泳者要成功抵达终点，就必须随着水速来改变自己的速度方向，由于水速在三段区域中一定，我们可以认为人的速度在每个区域保持一个特定的方向。并且在选择的方向中存在一组方向使得游泳者所用的时间最少，由此建立数学模型二。第四问所给的条件是流速离岸边距离成连续分布，对此本文建立了两个模型分别从不同角度分析由于不同水速而给游泳者带来游泳路线的影响。一、游泳者可以按照第三问的方法，即在三个区域中分别选择一个特定的方向渡江，这样能成功到达终点（建立模型三）；二、若游泳者的速度方向时刻变化，游泳者可以沿着一条从起点到终点的直线前进，以最短的时间到达（建立模型四），模型四是较为理想的情况，经过调查研究，参考各种文献书籍，我们认为水速应该呈抛物线分布，于是我们建立了模型五。三、基本假设1、游泳者身体健康在比赛过程中不会出现意外，速度大小不受水速影响，能够按照我们模型的进度前进，在前三问中速度保持在1.5米/秒，在第四问中速度大小也保持不变。2、江中不会出现旋涡、急流等自然现象，江水的速度始终水平于岸边且严格符合题目所给要求。3、两岸保持平行且间距为1160米，在整个竞技区域内江面平缓没有任何障碍物。四、符号说明rv游泳者的游泳速度；sv水流速度；hv合速度(游泳者受水速影响的最终游泳速度)；o,o起点(武昌汉阳门码头)和终点(汉阳南岸咀)；游泳者游泳方向和水流方向(正岸边方向)夹角；合速度方向和水流方向夹角；T游泳者渡河总时间；it第i区域渡河所用时间(i=1,2,3)；ix第i区域游泳者前进的水平距离(i=1,2,3)；iy第i区域游泳者垂直前进的距离；x游泳者离开始点的水平距离；y游泳者离开始点的垂直距离。五、建立模型以及模型分析建立数学模型，为了简化模型假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160米，从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。定理一：当游泳者和水流的方向和速度大小始终不变时，游泳者最终必须延OO方向前进。即当rv和sv不变，则hv固定且方向始终'OO。证明：rv、sv固定则由向量分析，hv为rv、sv的合向量肯定也是固定的。则若hv的方向不为OO游泳者肯定到不了终点。人速随水速变化分两种情况进行分析，在此画出一般情况（如图1）。1160m1000m长江水流方向终点O:汉阳南岸咀起点O:武昌汉阳门oyrvhvosvx图11、解答问题一：由题目可知第一名的游泳时间为848秒，当时的水流速度为1.89米/秒，由于她到终点则符合定理一（人的合速度中，水平速度所用的时间等于垂直速度所用的时间）于是建立数学模型一：TCosvTSinvrr][89.11000][1160①式中T=848秒解方程①得：orv46.117/54.1秒米；当游泳者速度为1.5米/秒时，5.1rv米/秒，带入方程组①，得：秒51.91086.121To所以，冠军的速度为1.54米/秒，和正河岸的夹角为117.46o；一个速度保持在1.5米/秒的人应选择的游泳方向为和正河岸成121.86o，总时间为15分10秒。2、解答问题二若游泳者以和岸边垂直的方向游，则o90：89.110001160rv②解②得：秒米/19.2v他（她）要到达对岸，速度必须为2.19米/秒，而①中的假设为1.5米/秒，所以他（她）不能到达终点。1）、在水流速度均不变的情况下，分析L对速度的影响：由方程组②可知，要使游泳者到达对岸必须满足条件（在水流速度均不变的情况下）：cos89.1sin1160rrvLv③L为起点到终点的水平距离。由MATHMATICA4.0可得不同L值时的rv的最小值。rMinv=svsin=1.892211601160L（具体计算见附录1）当L=1000米时，rMinv秒米/43.1；当L=2211605000=4863.58米，44.0rMinv米/秒。由此可见，要达到对岸不同，不同的L所要求的最小速度由于L=1000米所要求的最小速度要为1.43米/秒，这显然增加了到岸难度。由于游泳者无法达到这速度无论他（她）如何改变方向都不可能到达对岸。2）、在水流速度不变、人的速度一定的情况下，得出L对游泳角度的要求：同时在游泳者游泳速度保持不变秒米/5.1rv时，不同的L所要求的游泳者游方向也不同，当L=1000米时，o46.117；当L=4863.58时，o41.30。由两角度的差距可得当L=1000米时所选择的逆水角度很大，而一般人仅仅只看到目标而不考虑水流的影响从而没有选好游泳角度被水流冲出目标码头，而当L=4863.58时游泳者比较好选择自己的游泳方向而不至于被水冲离目标码头。3）、总结：在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的最关键原因是始点到终点的水平距离有很大的差距，1000米远远小于4863.58米从而导致对游泳者的游泳速度和游泳方向的更严格要求，在1000米中速度和角度的选择几乎都快达到极限，一般人很难做到。除上述原因外，居我们了解的实际情况，2002年4月下旬，长江流域连日阴雨，“五一”那天，武汉水域水位21.50米比往年高，水温16.8co也比往年低，最大流速达到2.06米/秒，加上水温偏低，所有难度肯定加大导致很多运动员败北。3、解答问题三由于流速沿岸边成分三段分布,并且题目中假设人的速度大小不变,我们可以假定在每一段人的速度为一个不同的方向,它们的方向与岸的夹角分别为321,，，（如图2），人游过三段的时间分别为321,,ttt，总时间为T=321ttt，其中T是一个关于i的函数。由此，我们可以求出总时间最小时各个的值。oyrvhvosvx图2因此,我们可以建立数学模型二：目标函数:31miniitT约束条件：311000)cos(siniiiiyiriiirxxtvvytv,(i2)其中米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1yyyvy，秒米/5.1rv,(i2)根据以上条件可得：1000sin5.1200)47.1cos5.1(sin5.1760)11.2cos5.1(sin5.120047.1cos5.1sin5.1200sin5.1760sin5.1200332211321）＋（T根据以上模型，用LINGO软件可以算出(程序见附录2)：11.126,09.118,11.126,0228.904321minsT。由此可得：5893.0cos8079.0sin21，4709.0cos8822.0sin22，5893.0cos8079.0sin33根据以上数据，可以得到y关于x的函数：100032.1895,23.10993.232.89581.86,4.11894.081.860,3.2xxxxxxy用MATHEMATICA4.0（程序见附录3）画出y关于x的图形为：200400600800100020040060080010001200图3此图像所示的线路即为此模型的最优路线。4、解答问题四问题四所给的条件是水流速度沿岸边距离在三个区间成连续分布，假设游泳者的速度大小全程不变.游泳者成功抵达终点的方法有两个，第一个方法是游泳者在三个区域里分别选择特定的前进方向,使得游泳者最终到达终点。第二个方法是游泳者在前进过程中不断的改变自己的前进方向,使前行的方向与oo的方向一致。由此我们可以建立以下两个模型：1）、游泳者在三个区域里分别选择特定的方向前进假设游泳者在三个区域里的前进方向与岸边的交角分别是3,21,,，游泳者在三个区域里所用的时间分别是321,,ttt，总时间为T，T也是一个关于i的函数，游泳者的速度大小秒米/5.1rv，根据以上条件建立的数学模型三为：目标函数为：31miniitT约束条件为:311000cossiniiyirirxdtdxvvdtdyv,其中(i2),秒米/5.1rv由以上式子可以得到：321sin5.1200sin5.1760sin5.1200T1000sin152sin