现代测试技术习题解答--第二章--信号的描述与分析---副本

现代测试技术习题解答1第二章信号的描述与分析补充题2-1-1求正弦信号0()sin()xtxωtφ的均值xμ、均方值2xψ和概率密度函数p(x)。解答：(1)0000011lim()dsin()d0TTxTμxttxωtφtTT，式中02πTω—正弦信号周期(2)0022222200000000111cos2()lim()dsin()dd22TTTxTxxωtφψxttxωtφttTTT(3)在一个周期内012ΔΔ2ΔxTttt0002Δ[()Δ]limxxTTTtPxxtxxTTT22Δ0Δ0000[()Δ]2Δ2d1()limlimΔΔdxxPxxtxxttpxxTxTxπxxx(t)正弦信号xx+ΔxΔtΔtt现代测试技术习题解答22-8求余弦信号0()sinxtxωt的绝对均值xμ和均方根值rmsx。2-1求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。现代测试技术习题解答32-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。现代测试技术习题解答42-1求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。补充题2-1-2求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω现代测试技术习题解答5图，并与表1-1对比。解答：在一个周期的表达式为00(0)2()(0)2TAtxtTAt积分区间取（-T/2，T/2）0000000022020002111()d=d+d=(cos-1)(=0,1,2,3,)TTjntjntjntTTncxtetAetAetTTTAjnnn所以复指数函数形式的傅里叶级数为001()(1cos)jntjntnnnAxtcejnen，=0,1,2,3,n。(1cos)(=0,1,2,3,)0nInRAcnnnc2221,3,,(1cos)00,2,4,6,nnRnIAnAcccnnnn1,3,5,2arctan1,3,5,200,2,4,6,nInnRπncπφncn没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。图1-4周期方波信号波形图0tx(t)T02T020T……A-AT0现代测试技术习题解答62-5求指数函数()(0,0)atxtAeat的频谱。解：(2)220220(2)()()(2)2(2)ajftjftatjfteAAajfXfxtedtAeedtAajfajfaf22()(2)kXfafIm()2()arctanarctanRe()XfffXfa2-6求被截断的余弦函数0cosωt(见图1-26)的傅里叶变换。0cos()0ωttTxttT解：0()()cos(2)xtwtftw(t)为矩形脉冲信号()2sinc(2)WfTTf002201cos(2)2jftjftftee所以002211()()()22jftjftxtwtewte单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0φ(f)f0π/2-π/2|cn|φnπ/2-π/2ωωω0ω03ω05ω03ω05ω02A/π2A/3π2A/5π幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5π2A/3π2A/π-ω0-3ω0-5ω0-ω0-3ω0-5ω0图1-26被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1现代测试技术习题解答7根据频移特性和叠加性得：000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]XfWffWffTTffTTff可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。2-6求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。解2-7求指数衰减信号0()sinatxteωt的频谱解：0001sin()2jtjtteej指数衰减信号x(t)fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱TtTtttx;0;cos)(0210000222202sinsin2)(2)(sin2)(2)(sin212cos)()(00ccTTffTffTffTffTdteeedttefdtetxfXftjtfjtfjTTTTftjftj现代测试技术习题解答8所以001()2jtjtatxteeej单边指数衰减信号1()(0,0)atxteat的频谱密度函数为112201()()jtatjtajXfxtedteedtaja根据频移特性和叠加性得：001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]ajajXXXjjaaaajaaaa2-9求h(t)的自相关函数。(0,0)()0(0)atetahtt解：这是一种能量有限的确定性信号，所以()01()()()2atatahRhthtdteedtea2-10求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。ty(t)tx(t)1-11T-1图5-24题5-3图sin(t)0000X(ω)-ππφ(ω)ωω指数衰减信号的频谱图现代测试技术习题解答9解法1：按方波分段积分直接计算。00344304411()()()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()TTxyTTTTTRxtytdtxtytdtTTtdttdttdtT解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。411()coscos3cos535ytttt所以00000114()()()sin()cos()41sin()sin()22sin(2)sin()220sin()sin()TTxyTTTRxtytdtttdtTTttttdtTtdtdtTTT解法3：直接按Rxy()定义式计算(参看下图)。034430441()()()1(1)sin()1sin()(1)sin()2sin()TxyTTTTTRxtytdtTtdttdttdtTty(t)tx(t)1-11T-1sin(t)00ty(t+)1-104T34TTT34T4T现代测试技术习题解答10参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数41024()32()0,1,2,yyTTTRTTRnTn2-11某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx()和输入—输出的互相关函数Rx()之间的关系为Rx()=Rxy(+T)，试说明该系统起什么作用？解：因为Rx()=Rxy(+T)所以0011lim()()lim()()TTTTxtxtdtxtytTdtTT所以x(t+)=y(t++T)令t1=t++T，代入上式得x(t1-T)=y(t1)，即y(t)=x(t-T)结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。2-12已知信号的自相关函数为Acos，请确定该信号的均方值x2和均方根值xrms。解：Rx()=Acosx2=Rx(0)=A2rmsxxA2-13已知某信号的自相关函数，求均方值、和均方根值rmsx。2-14已知某信号的自相关函数，求信号的均值xμ、均方根值、功率谱。Rx()0TRxy()0系统x(t)y(t)图5-25题5-4图Ry()0方波的自相关函数图TT/2现代测试技术习题解答112-15已知某信号的自相关函数，求信号的自功率谱。解：采样序列x(n)11111000()()()cos2()cos()24NNNsssnnnnnxnxttnTnTtnTt现代测试技术习题解答122-18对三个正弦信号x1(t)=cos2t、x2(t)=cos6t、x3(t)=cos10t进行采样，采样频率fs=4Hz，求三个采样输出序列，比较这三个结果，画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置，并解释频率混叠现象。采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，1203()cos()24Nnnnxnt采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，1205()cos()24Nnnnxnt采样输出序列为：1，0，-1，0，1，0，-1，0，从计算结果和波形图上的采样点可以看出，虽然三个信号频率不同，但采样后输出的三个脉冲序列却是相同的，这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别，造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说，采样频率不满足采样定理。2-19假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为x(t)=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)求该信号的自相关函数。解：设x1(t)=A1cos(1t+1)；x2(t)=A2cos(2t+2)，则1122121212111221221()lim[()()][()()]211lim()()lim()()2211lim()()lim()()22()()()()TxTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxRxtxtxtxtdtTxtxtdtxtxtdtTTxtxtdtxtxtdtTTRRRR因为12，所以12()0xxR，21()0xxR。又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以11111111111101211111111101211111001221111101()cos()cos[()]1cos()cos()2cos22cos()20cos()cos()22TxTTTTRAtAtdtTAttttdtTAtdtdtTAAtTx1(t)x2(t)x3(t)ttt现代测试技术习题解答13同理可求得1222()cos()2xAR所以12221212()()()cos()cos()22xxxAARRR2-20试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。解：设信号x(t)的均值为x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则x(t)=x+x1(t)11100211110211110000211()lim()