北航计算方法期末试卷与答案

北京航空航天大学2013－2014学年第一学期期末《计算方法》班号学号姓名成绩《计算方法》期末考试试卷注意事项：1、闭卷考试，严格遵守考场纪律；2、答案应用钢笔或签字笔写在答题纸上，写在试卷上无效。一、填空题(每题5分，共40分)1.已知2.7182818e···对于2.7182e的取值，其有效数字为位。2.求解非线性方程240xx的迭代公式是。3.若753()fxxxxx，则012345672,2,2,2,2,2,2,2f=，0123456782,2,2,2,2,2,2,2,2f=。4.区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到阶的连续导数。5.1n个节点的高斯求积公式的代数精确度为。6.设322,213AX,则A＝_______，X＝_______，AX______(注意：不计算AX的值)。7.拉格朗日插值公式0()()nnkkkpxylx中的系数()klx的特点是：0()nkklx8．设20302aaaaA给出使追赶法数值稳定地求解方程组3,RbbAx的a的取值范围（最大取值区间）是。二、解答题（共5道大题，总分60分）9、求一个次数不高于3的多项式3Px，满足下列插值条件，并估计误差。（10分）ix123iy2412iy310、试用1,2,4n的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011Idxx。（10分）11、用Newton法求()cos0fxxx的近似解。（10分）12、对方程组（10分）试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由13、设初值问题'32(0)1yxyy01x(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解12,yy，保留两位小数。14、确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度（10分）841025410151023321321321xxxxxxxxx1010hhfxdxAfhAfAfh《计算方法》期末考试试卷答案一、填空题(每题5分，共40分)1、4，根据有效数字的定义2、ln(4)/ln2xx，考虑迭代函数的收敛性3、1（2.5分）、0（2.5分），根据公式10()(,,,)!nnffxxxn4、2，由三次样条插值函数的定义可解答5、2n-1，根据高斯求积公式的性质可解答6、5（2分）、3（2分）、15（1分），由矩阵范数的定义可解答7、1，拉格朗日插值系数函数的固有性质8、230a，考虑矩阵是对角占优矩阵二、解答题9、解：（1）利用插值法加待定系数法：设2px满足22212,24,312,ppp则22376,pxxx（3分）再设32123pxpxKxxx（3分）2K（1分）32329156pxxxx（1分）（2）24311234!Rxfxxx（2分）10、解：应用梯形公式得11012IIff（2分）0.75（1分）应用辛普森公式得：21104162IIfff（2分）0.69444444（1分）应用科特斯公式得：41113703212327190424IIfffff（2分）0.6931746（2分）11、解：由零点定理，cos0xx在(0,)2内有根。（1分）由牛顿迭代格式1cos0,1,1sinnnnnnxxxxnx（4分）取04x得，12340.73936133;0.7390851780.7390851330.739085133xxxx（4分）故取*40.739085133xx（1分）12、解、调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优123123123104521048321015xxxxxxxxx（4分）故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(45)101(248)101(3215)10kkkkkkkkkxxxxxxxxx（4分）取(0)(0,0,0)Tx,经7步迭代可得：*(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)Txx（2分）13、解：(1)10.1(32)0.31.2nnnnnnyyxyxy（2分）改进的欧拉公式如下：1111(,)[(,)(,)2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy（3分）(2)110.2(32)3(0.2)220.1(620.6)nnnnnnnnnnyyxyxyyxyy13332440nnnyyx迭代得：1233363331.575,0.22.585240240440yy（5分）14、证明：求积公式中含有三个待定系数，即101,,AAA，将2()1,,fxxx分别代入求积公式，并令左右相等，得1011123112()02()3AAAhhAAhAAh（3分）得11014,33AAhAh。所求公式至少有两次代数精度。（2分）又由于333444()()33()()33hhhhhhxdxhhhhxdxhh（3分）故4()()(0)()333hhhhhfxdxfhffh具有三次代数精度