函数周期性和对称性课件及习题与答案

函数的周期性和对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数xfy满足xbfxaf，则函数xfy的图象关于直线2bax对称.推论1：如果函数xfy满足xafxaf，则函数xfy的图象关于直线ax对称.推论2：如果函数xfy满足xfxf，则函数xfy的图象关于直线0x（y轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数xfy满足bxafxaf2，则函数xfy的图象关于点ba,对称.推论3：如果函数xfy满足0xafxaf，则函数xfy的图象关于点0,a对称.推论4：如果函数xfy满足0xfxf，则函数xfy的图象关于原点0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理4：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba2为周期.定理5：若函数xf在R上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数xfy以ba4为周期.1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。3、若函数fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=xf1(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。6、1()()1()fxfxafx，则xf是以2Ta为周期的周期函数.7、1()()1()fxfxafx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。9、函数()yfxxR的图象关于两点0,Aay、0,Bbyab都对称，则函数()fx是以2ba为周期的周期函数；10、函数()yfxxR的图象关于0,Aay和直线xbab都对称，则函数()fx是以4ba为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f(2T)=0.1、已知定义为R的函数xf满足4xfxf，且函数xf在区间,2上单调递增.如果212xx，且421xx，则21xfxf的值（）.A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负.2、（07天津7）在R上定义的函数()fx是偶函数，且()fx(2)fx.若()fx在区间[1,2]上是减函数，则()fx()A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数3、定义在R上的函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0B.1C.3D.54、已知函数xf的图象关于直线2x和4x都对称，且当10x时，xxf.求5.19f的值.5、39821583214fxfxfxfx，则0f，1f，2f，…，999f中最多有（）个不同的值.A.165B.177C.183D.1996、已知113xfxx，1fxffx，21fxffx，…，1nnfxffx，则20042f（）.A.17B.17C.35D.37、函数)(xf在R上有定义，且满足)(xf是偶函数，且02005f，1gxfx是奇函数，则2005f的值为.1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为()A．－1B．0C．1D．22．已知函数)(xfy是一个以4为最小正周期的奇函数，则)2(f（）A．0B．－4C．4D．不能确定3.（2009江西）已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则(2008)(2009)ff的值为（）A．2B．1C．1D．24.函数)x(f对于任意实数x满足条件)x(f1)2x(f，若5)1(f，则))5(f(f等于()A.5B.5C.51D.515.()fx是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则()fx是（）A.周期为20的奇函数B.周期为20的偶函数C.周期为40的奇函数D.周期为40的偶函数6.偶函数()fx是以2为周期的函数，且当0,1x时，()21xfx，则2(log10)f的值为().A35.B85.C38.D537.已知偶函数)x(fy满足)1x(f)1x(f，且当]0,1[x时，943)x(fx，则)5log(f31的值等于()A.1B.5029C.45101D.18．设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（）A．1.53.56.5fffB．3.51.56.5fffC．6.53.51.5fffD．3.56.51.5fff9（07安徽）定义在R上函数)(xf既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程0)(xf在闭区间TT,上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0B.1C.3D.510.)(xf是定义在R上的以3为周期的奇函数，且0)2(f在区间(0,6)内解的个数的最小值（）A．6B．7C．4D．511.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于)0,43(成中心对称，且满足f(x)=1)1(),23(fxf,f(0)=–2，则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值为（）A．–2B．–1C．0D．1二、填空题1、函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15,f则5ff。2.R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有_____个实数根.3.()(5)()0,(2)1(2008)fxxfxfxffRR为上的奇函数，对任意，都有若，．4.设函数()yfx定义在R上的奇函数，且()yfx图像关于直线12x对称，则)5(f)4(f)3(f)2(f)1(f.5.设函数)x(f为R上的奇函数，且0)3x(f)x(f，若1)1(f，2log)2(fa，则a的取值范围是.6.定义在),(上的偶函数)x(f满足)x(f)1x(f，且在]0,1[上是增函数，下面是关于)x(f的判断：①)x(f是周期函数；②)x(f的图象关于直线1x对称；③)x(f在]1,0[上是增函数；④).0(f)2(f其中正确的判断是（把你认为正确的判断都填上）。7．设函数()fx是定义在R上的奇函数，对于任意的xR，都有1()(1)1()fxfxfx，当0x≤1时，()2fxx，则(11.5)f。答案1、分析：4xfxf形似周期函数4xfxf，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用2x代替x，使4xfxf变形为22xfxf.它的特征就是推论3.因此图象关于点0,2对称.xf在区间,2上单调递增，在区间2,上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.（如图）1242xx，且函数在,2上单调递增，所以124xfxf，又由4xfxf，有1111444)4(xfxfxfxf，21xfxf114xfxf011xfxf.选A.2、分析：由()(2)fxfx可知()fx图象关于x1对称，即推论1的应用.又因为()fx为偶函数图象关于0x对称，可得到()fx为周期函数且最小正周期为2，结合()fx在区间[1,2]上是减函数，可得如右()fx草图.故选B3、分析：()()0fTfT，()()()()2222TTTTfffTf，∴()()022TTff，则n可能为5，选D.4、分析：由推论1可知，xf的图象关于直线2x对称，即xfxf22，同样，xf满足xfxf44，现由上述的定理3知xf是以4为周期的函数.5.3445.19ff5.3f5.05.04ff，同时还知xf是偶函数，所以5.05.05.0ff.5、分析：由已知39821583214fxfxfxfx1056fx1760704352fxfxfx.20又有39821583214fxfxfxfx1056fx21581056fx11021102105646fxfxfx，于是)(xf有周期352，于是0,1,,999fff能在0,1,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线23x对称，故这些值可以在23,24,,351fff中找到.又)(xf的图像关于直线199x对称，故这些值可以在23,24,,199fff中找到.共有177个.选B.6、分析：由113xfxx，知1131xfxx，2131xfxfxx，3fxfx.)(xf为迭代周期函数，故3nfxfx，2004fxfx，20041227ff.选A.7、解：11gxfxgxfx，11fxfx，令1yx，则2fyfy，即有20fxfx，令nafx，则20nnaa，其中02005a，10a，20052nnnaii，20052005fa2005200520052ii0.或有2fxfx，得2005200320011999ffff10f.选择题【答案】BACDCADBDDC填空题【答案】1.1-5；2.5；3.-1；4.0；5.10,12aa；6.①②④；