理解特征值、主振动和模态

欢迎批评指正联系方式[e-mail]1理解特征值、主振动和模态陈奎孚中国农业大学应用力学系摘要分析多自由度系统的主振动特性时，传统振动教材的某些处理方式值得进一步斟酌。比如，用假设解的办法引入特征值概念，感觉比较生硬。对模态振型的理解也比较突兀和抽象。本文通过解耦方式引入特征值问题，在逻辑上比较自然。而通过快照叠放图的方式引入振型则有助于直观理解模态的意义。关键词振动;特征值；模态；快照叠放图对N自由度无阻尼线性系统或系统作微幅振动，昀后都得到如下的振动微分方程组[]{}[]{}{0}MxKx+=(1)其中{}x表征各自由度位移的1N×向量，[][]MK和均为NN×的实对称矩阵，其中[]M正定而[]K半正定。1.传统处理中的问题为了分析上述方程和理解振动物理特性，在绝大多数教科书中都是通过如下的方式引入数学特征值的概念的。即假定{}{}sin()xXptϕ=+(2)其中{}X为各自由度的振动幅度，pϕ和分别为振动频率和初相位。将式(2)代入方程(1)有2([][]){}sin(){0}pMKXptϕ−++=将sin()ptϕ+约去可得2([][]){}{0}pMKX−+=或者[]{}[]{}MXKXλ=(3)其中2pλ=。式(3)就是广义特征值问题。式(2)的假设当然昀终是正确的，但是从理解角度来讲，这种假定有生硬的感觉。首先解为什么要假定为简谐函数的形式？难道就没有其他形式的解吗？其次，即使假定了简谐形式，为什么各个自由度规律都是以相同的频率振动？第三，为什么振动的初相位对各自由度也相同？怎样直观地理解主振动呢？对上述问题，教科书是避而不谈的。本文将从对方程(1)解耦角度逻辑地过渡特征值问题(3)。进一步采用了快照叠放图来实现对主振动的直观理解。2.方程解耦方程(1)建立后的下一步就是要求解该方程，但这组方程之间是耦合的([]M或[]K非对角)。数学上解方程通常用变量替换法来简化方程。能否通过引入新变量来将方程(1)变成不耦合形式呢？理想的新变量与原有物理坐标之间的变换应该是可逆的，且昀好是对原物理坐标的加减或者乘以常数的基本运算，也就是线性欢迎批评指正联系方式[e-mail]2变换。线性变换的数学表现是乘以一个矩阵。为此引入如下的新向量{}q和非奇异变换矩阵[]Φ,11112122122212{},[]NNNNNNNqqqqφφφφφφΦφφφ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥==⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎣⎦2.1解耦的条件取变换{}[]{}xqΦ=(4)代入式方程(1)，[][]{}[][]{}{0}MqKqΦΦ+=(5)解耦的充要条件是：{}{}qq和前面的系数矩阵均为对角阵。对角阵当然应为对称阵，但方程(5)不符合这个必要条件，因为[][][][]MKΦΦ和一般都不是对称阵，尽管[][]MK和确实是对称阵。并为了保持系数矩阵的对称,再左乘T[]Φ有TT[][][]{}[][][]{}{0}MqKqΦΦΦΦ+=(6)解耦的充分条件变为TP[][][]=[]MMΦΦ(7)TP[][][][]KKΦΦ=(8)其中PP[][]MK和均应为如下的对角阵1122PP00000000[],[]0000NNMKMKMKMK⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(9)如果选择的[]Φ满足了关系(7),那么可实现动力解耦，但是未必能保证关系(8)的静力耦合。另一方面,仅关系(7)也无法唯一确定[]Φ。因为[]Φ本身有2N个参数,P[]M的对角线还有N个参数，所以总计有2NN+个参数要待定;但的关系(7)昀多能提供1(1)2NN+个独立的方程，因为该式左端的矩阵对称自动减少了1(1)2NN−个独立方程)。同样若[]Φ满足(8)关系,可实现静力解耦,未必能实现动力解耦，当然也无法唯一确定所有的待定参数。只有关系(7)和(8)联立起来，同时满足，才能同时实现静力解耦和动力解耦。二者联合起来之后，形式上有(1)NN+个独立的方程，待定未知数则有(2)NN+。不过回到关系(7)和(8),[]Φ确实不能完全确定,因为若已找到一个[]Φ同时满足了关系(7)和(8)，那么对这个[]Φ乘以任意一个的对角阵之后也仍然同时满足关系(7)和(8)。如果不计这个对角阵的差异，联合关系(7)和(8)有可能唯一确定[]Φ。2.2解特征值问题欢迎批评指正联系方式[e-mail]3为此将关系(7)变为T-11P[]=[][][]MMΦΦ−，代入关系(8)得-11PP[][][][][][]MMKKΦΦ−=(10)上式可变为1PP[][][][][][]KMMKΦΦ−=(11)由于PP[][]MK和均为对角阵，1PP[][]MK−可合并为一个对角阵121PP0000[][][]00NMKλλΛλ−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中对角元素(=1,2,...,)iiiKiNMλ=(12)这样式(11)变为[][][][][]KMΦΦΛ=(13)上式就是矩阵理论中的广义特征值问题。如果将矩阵[]Φ按列分开12[]=[{},{},,{}]NΦφφφ，则式(13)就变为如下的关系111222[]{}[]{}[]{}[]{}[]{}[]{}NNNKMKMKMφλφφλφφλφ===(14)这是更熟悉的形式。之所以叫广义是因为[]M的存在。如果矩阵[]M恰好为单位阵，那就是常规特征值问题。总之,方程(1)的解耦问题昀终归结为特征值问题(13)，相应的特征值方程为|[][]|0KMλ−=(15)一旦根据这个多项式解出特征根λ代回(13)式,便可以确定变换所需要的矩阵[]Φ。3.主振动假定[]Φ已经找到，那么式(6)变为N个独立的方程111122222000NNNMqKqMqKqMqKq+=⎫⎪+=⎪⎬⎪⎪+=⎭(16)它们都是无阻尼单自由度系统的振动方程,相应的解为11112222()sin()()sin()()sin()NNNNqtAptqtAptqtAptααα=+⎧⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩(17)欢迎批评指正联系方式[e-mail]4其中(1,2,...,)iiiiKpiNMλ===就是这系统的固有频率，而振幅1NAA∼和初相位1Nαα∼则与初始条件有关。3.1主振动与模态根据式(4)就可以得到原问题的解：11112122122211122212sin()sin()sin()NNNNNNNNNNxxAptAptAptxφφφφφφαααφφφ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=++++++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭(18)因此原系统的振动为N个不同频率的简谐运动叠加。如果恰好只有一个0iA≠，而其他的0()jAji=≠，那么整个系统的各自由度运动都是同一频率的简谐运动。这时系统的振动具有如下特点:(1)系统中任意12jj和两处的振动,要么完全同步(1jiφ和2jiφ符号相同)或者要么完全反相(1jiφ和2jiφ符号相反)。12jjxx与同时通过零点，同时达到幅值昀大，因此具有固定的振动模式(modeorpattern)。(2)当1jiφ和2,jiφ符号相反时,在12jj和两点之间至少存在一个点，其振幅始终为0，也就是节点。因为它的位置固定不变，所以我们可以用肉眼观察到。由于上述特征，若只以一个固有频率ip振动，则整个系统的运动有明显的模式，所以称之为模态振动。相应的振动模式完全由列阵{}iφ所控制，所以称{}iφ为模态向量，又称振型向量。每个模式都对应方程组(16)中的一个方程。对每个独立方程,iq前的系数iM类似于单自由度情形的等效质量，所以称为模态质量或广义质量，而iq前的系数iK相当于等效刚度，称为模态刚度或广义刚度。每个单自由度的固有频率ip也称为模态频率。对于任意自由振动，可能有多个iA不为零，那么上述的特点(1)和(2)消失，没有固定的振动模式。但根据式(18)，它们仍可以分解为模态振动的迭加，而每个模态的运动都是简单的简谐振动。由于这种分解，我们又把模态振动称为主振动(principlevibration),相应上述物理量又称为主质量、主刚度、主振动频率，以及主振型等。3.2示例例1:求图1所示张紧细绳上均匀地分布着五个相同的集中质量，绳子张力T0F在微幅振动过程中近似认为是常数。分析系统的主振动的频率和主振型。x1x2x3x4x5图1五自由度弹簧质量振系欢迎批评指正联系方式[e-mail]5解:采用分离体法可以建立的振动微分方程(1)，质量矩阵和刚度矩阵分别为:10000210000100012100[],[]001000121000010001210000100012MmKk−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==−−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦式中T06Fkl=。将具体的[][]MK和代入特征多项式(15)，展开得到222()(2)(3)(4)0kmkmkmkkmmλλλλλ−−−−+=可解出五个特征根(按从大到小顺序排列)222221122334455(23)23(23),,,,kkkkkpppppmmmmmλλλλλ−+==========其中15pp∼就是主振动频率。将这5个特征根代入特征方程，可以解出特征向量矩阵(每个特征向量取昀后一个元素数为1),1111131013[]201023101311111Φ−−⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦将[]Φ代入(7)和(8)可验证[]Φ确实能将质量矩阵和刚度矩阵对角化，其中的主质量和主刚度分别为123451234512,4,3,4,1212(23),4,6,12,12(23)MmMmMmMmMmKkKkKkKkKk======−====+取{}[]{}xqΦ=变换解耦后的方程为1122334455(23)002030(23)0mqkqmqkqmqkqmqkqmqkq⎫+−=⎪+=⎪⎪+=⎬⎪+=⎪⎪++=⎭它们的解为()sin()(1~5)iiiiqtAptiα=+=这就是系统的主振动，如图2的(a)列所示，它们都是正弦振动。由于特征值一般按升序排列，所以图示曲线的频率从上到下依次增高。如果我们把某一时刻的细绳空间位置画出来，然后将不同时刻叠加在一起，如图2的(b)列所示。可以看到主振动有明显的模式，特别是随主振动的阶数增高，节点增多。这些节点在空间和时间上都保持不动，很容易鉴别出来。绘制类似图2(b)的曲线过于麻烦，而且不简洁。更常用的是将振型向量用线段象图2的(c)列那样画出来，线段旁边可标注该点振型比值，这就是振型图。从该图很容易把握主振动形态，各处的振幅相对比值，以及节点的位置等特征。欢迎批评指正联系方式[e-mail]64.自由振动4.1显式表达式(17)是方程(16)的解，但是采用如下显含初条件的形式更容易处理，(0)()(0)cossin(1~)iiiiiiqqtqptptiNp=+=(19)下面来确定模态坐标下的初始条件。根据式(4)有1{}[]{}qxΦ−=(20)为了回避矩阵求逆运算，由(7)式可得-1-1TP[][][][]MMΦΦ=代入式(20)式得-1TP{}[][][]{}qMMxΦ=(21)因此模态坐标系下的初条件按如下方式确定质量块编号051015201234512345质量块编号tk/mq1(t)q2(t)q3(t)q4(t)q5(t)(a)主振动(b)主振动的空间变化(c)振型图节点节点节点11233-1-11111-1节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点节点1-1-11211-3-3图2五自由度的主振动欢迎批评指正联系方式[e-mail]7-1TP-1TP{(0)}[][][]{(0)}{(0)}[][][]{(0)}qMMxqMMxΦΦ⎫=⎪⎬=⎪⎭(22)式(19)还可以写成如下的矩阵形式PP{()}[()]{(0)}[()]{(0)}qtQtqQtq′=+(23)其中P[