线性离散控制系统的分析与综合

8.1离散控制系统概述一、离散控制系统特点：从系统结构上看，含有采样开关；从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。二、离散控制系统的两种典型结构1、采样控制系统e﹡(t)是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。2、计算机控制系统计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法建立在Z变换的数学基础上，采用脉冲传递函数，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。8.2连续信号的采样与复现一、连续信号的采样、数学描述1、采样过程把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，设采样开关每隔T秒闭合一次（接通一次）。f(t)为输入连续信号，则经采样开关后，f*(t)为定宽度等于τ的调幅脉冲序列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,3…）时出现。由于采样开关闭合时间τ很小，τT，分析可认为τ=0。采样器的输出f*(t)信号，等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。2、数学描述为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调制的过程，如下图所示。采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以T为周期的单位理想脉冲δT(t)。幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f*(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在理想脉冲δT(t)上的结果。设理想脉冲序列0kT)kTt()nTt()T2t()Tt()t()t(则采样脉冲序列的数学表达式：二、信号的复现及装置使采样信号f*(t)大体上回复为连续信号f(t)的变化规律，称信号的复现。怎样才能使采样信号f*(t)大体上反映连续信号f(t)的变化规律呢？从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：对于一个非正弦周期函数f(t)，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐波的振幅随频率变化的分布情况，称为f(t)的频谱特性。0kTTTTT)kTt()kT(f)T2t()T2(f)Tt()T(f)t()0(f)t()t(f)t(f)j(Ff(t)f*(t)采样复现设有一离散信号对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将s=jω代入经上述讨论分析可知，对于一连续信号f(t)，其频率特性为一孤立的连续频谱（ωmax)。以均匀周期T(=2π/ωs)对f(t)进行采样，采样信号f*(t)的频谱与采样频率ωs有关，而且是以ωs为周期的无限多个频谱之和。与原函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为1/T。0k)kTt()kT(f)t(f0ks)jks(FT1)s(F)k2jj(FT1)jkj(FT1)j(FT1)jkj(FT1)j(Fss0ks观察上图，信号的复现需满足两个条件：(1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理)(2)在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。maxs2Ts较大时(ωs2ωmax)ωs=2ωmaxTs较小时(ωs2ωmax)采样定理的物理意义是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的精度复现原连续信号。需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，如何选择采样频率的最高频率呢？一般考虑频谱幅值降为最大值的5%处的频率为ωmax。10.05ωmax-ωmax三、零阶保持器——低通滤波器使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值f(kT)一直保持到下一个采样瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。)Tt(1)t(1)t(y设有一零阶保持器，其数学模型为对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将s=jω代入)Tt(1)t(1)t(yse1ses1)s(yTsTsjkjTke)j(Gje1)j(G从幅频特性上看，幅值随频率的增加而衰减，所以零阶保持器是一低通滤波器。从相频特性上看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统稳定性变差。8.3Z变换及反变换一、Z变换)(tf)(*tf)()()()()(0*kssTkTtkTfttftf在数学上表示：对上式两边取拉氏变换skTksksssekTfkTtkTfLsF)()()()(00*可看出，)(*sF是以复变量s表示的函数。引入一新变量zsTseZZ----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；sT----采样周期；S---拉氏变换算子。(1)Z变换的定义8.2节指出，一个连续函数经采样后，其采样函数式中：kkszkTfsFzF)()()(0*)(*tfkkszkTfzFtfZ)()()(0*上式收敛时，被定义为采样函数的Z变换。即注意：1、上面三式均为采样函数)(*tf的拉氏变换式；2、)(zF是)(*tf的Z变换式；3、)(zF只表征连续函数)(tf在采样时刻之间的特性，不能反映。在采样时刻的信号特性，(2)Z变换方法Z变换方法多种，主要的有1)级数求和法。以例说明例求单位价跃函数1（t）的Z变换.解：因为qqaSZqZZZSZZZZnTtZtZnnnnnnnnn1)1(1111limlim............1)(1)](1[)](*1[1111210或者，由......1)(21zzzF两边同乘以z-1得：......)(321zzzzF两式相减得：1,111)(1zzzzzF例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的Z变换。ssssssaTaTaTaTnnTaTnnanTatezzzeeZzzezezezzeeZ1aT1221aT-011][,1e1e1][ss则即若解：2)部分分式法方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。niiipsAsF1)(；然后逐项进行Z变换。例3)1(1)(sssF)(tf111)1(1)(sssssF巳知原函数的拉氏变换式为，求其Z变换。解：对拉氏变换式用部分分式展开逐项进行Z变换(查Z变换表)有))(1()1(1)(sssTTTezzezezzzzzF例4.求取具有拉氏变换为的连续函数f(t)的Z变换。)()(assasF))(1()(121)]([F(z)1a1a)(21saTsaTsaTezzezzezzzzasasaassaSF求得解：例5.求的Z变换。2)(1)(asssF221)(111121111dsd312)(1210)(11)()(1))(1()]1()-z[(1F(z))(F(S)a)(aa)(22222222232212ssssssaTaTssaTsaTaTsaTaTsaTezzaezzeTazzaaaaaassaasassasassasaasasaassezzaeaTezeaTeasassasssF解：1cos2Tzsin1222z)-z)(-(z-2]-zz--zz[21]Z[s2s2sTT2sszTzzeezjeeeeeejzeejtinjeetinsjjTjTjTjTjTjTjTjTjtjtjssssssss有由欧拉公式例6求的Z变换tinsf(t)解：(3)Z变换的主要性质1)线性性质)z(bF)z(aF)]t(bx)t(af[Z)]z(F)t(f[Z),z(F)]t(f[Z21112211则若2)延迟定理)z(F)]t(f[Z若)()]([zFznTtfZn则说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以,算子的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n个周期。nznz证毕变换定义由证明)(z])()()0([z)Zf(nT)Zf(Tf(0)Z)]KT-Z[f[(t0)f(-T]K)T-f[(1)f(-kT)zf(nT)zf(Tf(0)z)z-kTf(T)f(-kT)()]kT-f(tZ[:k-1k-)(k-s1)(k-sk-ssss)(k-s1)(k-sk-1-sss0szFznTfzTffzkTnTfZnssnnnnss3)超前定理)z(F)]t(f[Z若则4）复数位移定理)()]([aTatZeFtfeZ])f(m-F(Z)[)]([Ts1-k0mZzTmksktfZ])1[(.......)2()()0()()]([mk.........)()0()()]2([2)0()()]([1])()([]}])1[(......)()0(])1[()(])1[(......)()0({......]])1[()([......)(.......])2[(])1[()()()]kTZ[f(t:212210)1(1......)1()1(1)!(210sssmsmmmsssskmnskkmsksksksskksksknsssssnssnTmzfTfzTfzfzzFzmTtfZTzffzzFzTtfZkzfzzFTtfZkzmTfZFzzTkfzTffzTkfzkTfzTkfzTffzzTkfzkTfzzkTnTfzTkfzTkfkTfZkTnTf时当时时证明11111)](1[)]T-Z[1(tzzzsztZzsaT-saT-.se-z1e-zz1--1T-t-az]Z[z]Z[esaTe例7:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例8：计算延迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：5）终值定理)()1()()]([zFzzFtfZ且若在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点或（z-1）F(z)全部极点位于Z平面单位圆内。则)()1(lim)(1zFzfzt例设的Z变换函数为求的终值。)(tf)208.0416.0)(1(729.0)(22zzzzzF)(tf解：用终值定理1)208.0416.0)(1(729.0)1(1lim)(22zzzzzzf二、Z反变换Z反变换是已知Z变换表达式F（z），求离散序列f（nT）或的过程。)(skTf)(*tf)2)(1(10)(zzzzFZ反变换的