Matlab在导弹追击问题上的应用

微分、积分和常微分方程Matlab实验数值积分常用的方法（1）用不定积分计算定积分：牛顿－莱布尼兹公式,但是有时得不到原函数；（2）定义法，取近似和的极限：高等数学中不是重点内容但数值积分的各种算法却是基于定义建立的0limbn1ii1ii0af(x)dxf(ξ)(xx)数值微积分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分；其中步长x=[x0x1…xn]和函数值y=[f0f1…fn]为同维向量；q=quad(‘fun’,a,b,tol,trace,P1,P2,...)（低阶方法，辛普森自适应递归法求积分）q=quad8(‘fun’,a,b,tol,trace,P1,P2,...)（高阶方法，自适应法Cotes求积分）在同样的精度下高阶方法quad8要求的节点较少。例：数值积分X=0:pi/100:pi;Y=sin(X);Z1=trapz(X,Y)Z2=quad('sin',0,pi)Z1=1.9998z2=2.0000计算定积分0sinxdx的值。解：将积分区间100等分，步长为100，程序：求解常微分方程考虑一阶常微分方程初值问题：0)(),,(yaybxayxfdxdy求解析解增加很大的难度数值解则没有本质困难。一阶常微分方程数值解法［x,y］=ode23('fun',tspan,y0,option)（低阶龙格－库塔函数）［x,y］=ode45('fun',tspan,y0,option)（高阶龙格－库塔函数）其中，(1)tspan=[t0，tf]，t0、tf为自变量的初值和终值(2)option用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差.1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，（1）画出导弹运行的曲线方程.（2）乙舰行驶多远时，导弹将它击中？导弹追击问题解：假设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于),1(0tvQ.由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有xytvy1'0即yyxtv')1(0(1)又根据题意，弧OP的长度为AQ的5倍，即tvdxyx0025'1(2)由(1),(2)消去t整理得模型:(3)'151)1(2yyx初值条件为:0)0(y0)0('y1.建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode23('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰2151'')1(yyx)1/(151''21221xyyyy令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。