高二数学(理)函数最值、导数应用题(理)人教实验版(A)知识精讲.doc

高二数学（理）函数最值、导数应用题（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：函数最值、导数应用题二.重点、难点：1.闭区间上的连续函数必有最值。2.nxxxxxfbaxxfy21,0)(],,[),(，求)(),()(),(1bfxfxfafn的值，最大的为最大值，最小的为最小值。3.应用问题（1）选定自变量x（2）选定函数值y（3）建立函数关系)(xfy（4）确定函数的定义域（5）用导数求最值【典型例题】[例1]求下列函数最值。（1）]2,1[,155345xxxxy解：3,1,0,0)1)(3(52xxxxy（舍）7)2(,2)1(,1)0(,10)1(ffff∴10,2minmaxyy（2）],[,ln33eexxxy解：0)1(ln1xxy12233322)(,3)(,3)(,eefeefeeefex∴minmax,3yeeye2（3）]2,2[,)1(31232xxxy0)1()1(323223134322xxxxy22x∴14)2(3f3334)2(f34)22(f34)22(f1)1(,1)0(ff∴3max4)22()22(ffy33min34)2(fy[例2])1,32(a，函数]1,1[,23)(23xbaxxxf，26,1minmaxyy，求ba,。解：)(3)(axxxfbafbaf231)1(,231)1(baafbf321)(,)0(∴26231)1(1)0(minmaxbafybfy∴136ba[例3]]2,1[,6)(23xbaxaxxfy，29,3minmaxyy，求ba解：（1）)4(3)(,0xaxxfa∴322916)2(3)0(minmaxbabafybfy（2）)4(3)(,0xaxxfa29229)0(316)2(minmaxbabfybafy∴5ba或－31[例4]已知a为实数，))(4()(2axxxf，（1）求导数)(xf；（2）若0)1(f，求f（x）在[－2，2]上的最大值和最小值；（3）若f（x）在（－∞，－2）和),2[上都是增函数，求a的取值范围。解：（1）因为axaxxaxxxf44))(4()(232所以423)(2axxxf（2）由0)1(f，得21a，此时有)21)(4()(2xxxf所以43)(2xxxf，由0)(xf，得34x或1x，又因为)34(f27500)2(,0)2(,29)1(fff，所以)(xf在[－2，2]上的最大值为29，最小值为2750（3）∵423)(2axxxf的图象为开口向上且过点（0，－4）的抛物线由条件得0)2(',0)2('ff，即048084aa，解得22a，所以a的取值范围为[-2,2][例5]已知函数cbxaxxxf23)(在32x与x=1时都取得极值。（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对]2,1[x时，不等式2)(cxf恒成立，求c的取值范围。解：（1）∵cbxaxxxf23)(∴baxxxf23)(2由034912)32(baf，023)1(baf得2,21ba∵)1)(23(23)(2xxxxxf∴当x变化时，)(),(xfxf的变化情况如下表：x（－∞，32）32（32，1）1（1，+∞）)(xf+0－0+f（x）↑极大值2722c↓极小值23c↑∴函数f（x）的递增区间是（－∞，32）和（1，+∞）；递减区间是（32，1）（2）∵]2,1[,221)(23xcxxxxf又∵23)1(,722)32(cfcf，cf)1(2)2(,21cf∴2)2(cf为最大值，要使2)(cxf在]2,1[x恒成立只需2)2(2cfc，解得1c或2c[例6]已知函数)(xfbxax26的图象在点M（)1(,1f）处的切线方程为052yx（1）求函数)(xfy的解析式；（2）求函数)(xfy的单调区间。解：（1）∵bxaxxf26)(∴222)()6(2)()(bxaxxbxaxf又∵函数)(xf的图象在点M（)1(,1f）处的切线方程为052yx∴05)1(21f，即21)1(,2)1(ff解得3,2ba（∵1,01bb舍去）∴所求函数解析式为362)(2xxxf（2）∵222)3(6122)(xxxf∴令0)(xf，解得323,32321xx当323x或323x时，0)(xf当323323x时，0)(xf∴362)(2xxxf在（323,）和（,323）内是减函数，在（323，323）内是增函数[例7]设函数86)1(32)(23axxaxxf，其中Ra。（1）若)(xf在x=3处取得极值，求常数a的值；（2）若f（x）在（－∞，0）上为增函数，求a的取值范围。解：（1）)1)((66)1(66)(2xaxaxaxxf∵)(xf在3x取得极值∴0)13)(3(6)3(af，解得3a经检验知3a时，x=3为f（x）为极值点（2）令0)1)((6)(xaxxf得1,21xax当1a时，若),1(),(ax，则0)('xf)(xf在),(a和),1(上为增函数，故当10a时，)(xf在（－∞，0）上为增函数当1a时，若),()1,(ax，则0)(xf∴)(xf在（1,）和（,a）上为增函数，从而当1a时，)(xf在]0,(上也为增函数综上所述，当),0[a时，)(xf在（－∞，0）上为增函数[例8]),0(x，求证：1)1(32)1(211ln32xxxx证：令32)1(32)1(211ln)(xxxxxf3322)12()1()1(2)1(11)(xxxxxxxxfx（0，1）1（1，+∞）y－0+y↓↑∴1)1(minfy∴),0(x，1)1()(fxf恒成立∴1)1(32)1(211ln32xxxx[例9]求抛物线221xy上与点A（6，0）距离最近的点。解：设M（x，y）为抛物线221xy上一点，则422241)6()6(xxyxMA∵MA与MA2同时取到极值∴令42241)6()(xxMAxf由0)62)(2()(2xxxxf得2x∵当x或x时，MA→+∞∴f（x）→+∞∴x=2是f（x）的最小值点，此时x=2，y=2，即抛物线221xy上与点A（6，0）距离最近的点是（2，2）[例10]请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO1为xm，则1x4由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx（单位：m）故底面正六边形的面积为：)28(233)28(436222xxxx（单位：m2）帐篷的体积为：]1)1(31)[28(233)(2xxxxv)1216(233xx（单位：m3）求导得)312(23)(2xxv，令0)(xv解得21x（不合题意，舍去）22x当21x时，)(,0)(xVxV为增函数当42x时，)(,0)(xVxV为减函数∴当2x时，V（x）最大答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3316m[例11]统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：)1200(880312800013xxxy已知甲、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？析：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。解：（1）当x=40千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100小时要耗油5.175.2)840803401280001(3（升）答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x100小时，设耗油量为h（x）升，依题意得41580012801100)88031280001()(23xxxxxxh（1200x）∵)1200(64080800640)(2332xxxxxxh令0)(xh，得80x当)80,0(x时，)(,0)(xhxh是减函数；当x∈（80，120）时，0)(xh，h（x）是增函数∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25因为h（x）在]120,0(上只有一个极值，所以它是最小值答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。【模拟试题】1.已知函数)(xfy（x∈R）上任一点（)(,00xfx）处的切线斜率200)1)(2(xxk，则该函数的单调递减区间为（）A.),1[B.]2,(C.（－∞，－1）和（1，2）D.),2[2.已知函数)(xfxy的图象如图（1）所示（其中)(xf是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图像大致是（）图（1）3.设函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf，则0)(xf有（）A.分别位于区间（1，2），（2，3），（3，4）内三个根B.四个实根)4,3,2,1(iixiC.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3），（3，4）内四个根D.分别位于区间（0，1），（1，2），（2，3）内三个根4.（2005·广东）函数13)(23xxxf是减函数的区间是（）A.（2，+∞）B.（－∞，2）C.（－∞，0）D.（0，2）5.若函数0)((log)(3aaxxxfa，且1a）在区间)0,21(内单调递增，则a的取值范围是（）A.)1,41[B.)1,43[C.),49[D.)49,1[6.（07·福建·理11）已知对任意实数x，有)()(),()(xgxgxfxf，且x0时，0)(,0)(xgxf，则0x时（）A.0)(,0)(xgxfB.0)(,0)(xgxfC.0)(,0)(xgxfD.0)(,0)(xgxf7.（07·陕西·理11）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足0)()(xfxfx，对任意正数ba,，若ba，则必有（）A.)()(bfaafB.)()(afbbfC.)()(abfbafD.)()(bafabf8.已知3)2(3123xbbxxy在R上不是单调增函数，则b的范围为。9.对正整数n，设曲线)1(xxyn在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列}1{nan的前n项和的公式是。10.已知函数xaxxfln)(，若1)(xf在区