数字电子技术基础-西安电子科技大学第2章

第2章逻辑代数基础第2章逻辑代数基础2.1逻辑代数的三种基本运算2.2逻辑代数的基本定律和规则2.3复合逻辑2.4逻辑函数的两种标准形式2.5逻辑函数的代数化简法2.6逻辑函数的卡诺图化简2.7非完全描述逻辑函数的化简第2章逻辑代数基础2.1逻辑代数的三种基本运算2.1.1逻辑变量与逻辑函数逻辑是指事物因果之间所遵循的规律。为了避免用冗繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数采用逻辑变量和一套运算符组成逻辑函数表达式来描述事物的因果关系。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，一般用大写字母A、B、C、…表示，逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。0和1称为逻辑常量。但必须指出，这里的逻辑0和1本身并没有数值意义，它们并不代表数量的大小，而仅仅是作为一种符号，代表事物矛盾双方的两种状态。第2章逻辑代数基础逻辑函数与普通代数中的函数相似，它是随自变量的变化而变化的因变量。因此，如果用自变量和因变量分别表示某一事件发生的条件和结果，那么该事件的因果关系就可以用逻辑函数来描述。数字电路的输入、输出量一般用高、低电平来表示，高、低电平也可以用二值逻辑1和0来表示。同时数字电路的输出与输入之间的关系是一种因果关系，因此它可以用逻辑函数来描述，并称为逻辑电路。对于任何一个电路，若输入逻辑变量A、B、C、…的取值确定后，其输出逻辑变量F的值也被惟一地确定了，则可以称F是A、B、C、…的逻辑函数，并记为),,,(CBAfF第2章逻辑代数基础2.1.2三种基本运算1.与运算(逻辑乘)与运算(逻辑乘)表示这样一种逻辑关系：只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生。例如在图2-1所示的串联开关电路中，只有在开关A和B都闭合的条件下，灯F才亮，这种灯亮与开关闭合的关系就称为与逻辑。如果设开关A、B闭合为1，断开为0，设灯F亮为1，灭为0，则F与A、B的与逻辑关系可以用表2-1所示的真值表来描述所谓真值表，就是将自变量的各种可能的取值组合与其因变量的值一一列出来的表格形式。第2章逻辑代数基础图2-1与逻辑实例AFBE第2章逻辑代数基础表2-1与逻辑运算真值表ABF000110110001与逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A·B第2章逻辑代数基础在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。在有些文献中，也采用∧、∩及&等符号来表示逻辑乘。实现与逻辑的单元电路称为与门，其逻辑符号如图2-2所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号，图(c)为国标符号(见附录一)。图2-3是一个2输入的二极管与门电路。图中输入端A、B的电位可以取两种值：高电位+3V或低电位0V。设二极管为理想开关，并规定高电位为逻辑1，低电位为逻辑0，那么F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-1相同，因而实现了F=A·B的功能。第2章逻辑代数基础图2-2与门的逻辑符号图2-3二极管与门FAB(a)(b)&FAB(c)FABUCC(+5V)R3.9kABFV1V2第2章逻辑代数基础2.或运算(逻辑加)图2-4或逻辑实例FABE第2章逻辑代数基础表2-2或逻辑运算真值表ABF000110110111或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B或逻辑也称为或运算或逻辑加。符号“+”表示逻辑加。有些文献中也采用∨、∪等符号来表示逻辑加。第2章逻辑代数基础实现或逻辑的单元电路称为或门，其逻辑符号如图2-5所示，其中图(a)为我国常用的传统符号，图(b)为国外流行的符号，图(c)为国标符号(见附录一)。图2-6是一个2输入的二极管或门电路。图中输入端A、B的电位可以取两种值：高电位+3V或低电位0V。，并规定高电位为逻辑1，低电位为逻辑0，则F与A、B之间逻辑关系的真值表与表2-2相同，因此实现了F=A+B的功能。第2章逻辑代数基础图2-5或门的逻辑符号图2-6二极管或门＋FAB(a)(b)FAB(c)≥1FABR3.9kBAFV2V1第2章逻辑代数基础3.非运算(逻辑反)非运算(逻辑反)是逻辑的否定：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果一定会发生。例如，在图2-7所示的开关电路中，只有当开关A断开时，灯F才亮，当开关A闭合时，灯F反而熄灭。灯F的状态总是与开关A的状态相反。这种结果总是同条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表2-3所示，其逻辑表达式为AF通常称A为原变量，A为反变量。第2章逻辑代数基础图2-7非逻辑实例AF0110表2-3非逻辑运算真值表FARE第2章逻辑代数基础图2-8非门逻辑符号FA(a)FA(b)1FA(c)第2章逻辑代数基础图2-9三极管非RVRCF(UI)UCC(+5v)A(UO)第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的基本定律和规则2.2.1基本定律1.逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定义，可推得以下关系式。0-1律：A·0=0A+1=1自等律：A·1=AA+0=A重叠律：A·A=AA+A=A互补律：A·A=0A+A=1第2章逻辑代数基础2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如，证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。证：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)第2章逻辑代数基础3.逻辑代数中的特殊定律反演律(DeMorgan定律)：BABABABA还原律：AA表2-4反演律证明AB000110111110111010001000ABBABABA第2章逻辑代数基础2.2.2三个重要规则1.代入规则任何一个逻辑等式，如果将等式两边所出现的某一变量都代之以同一逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。由于逻辑函数与逻辑变量一样，只有0、1两种取值，所以代入规则的正确性不难理解。运用代入规则可以扩大基本定律的运用范围。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，则可以得到适用于多变量的反演律，即CBACBACBA第2章逻辑代数基础2.反演规则对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的算符“·”换成“+”，“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则所得到的结果就是。称为原函数F的反函数，或称为补函数。反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。例如：FF,ACDCABF);]()[(CADCBAF若则,EDCBAF。EDCBAF若则运用反演规则时应注意两点：①不能破坏原式的运算顺序——先算括号里的，然后按“先与后或”的原则运算。②不属于单变量上的非号应保留不变。第2章逻辑代数基础3.对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式F中所有的算符“·”换成“+”,“+”换成“·”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是F的对偶式，记为F′(或F*)。例如：AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF''',;,);1()(),0(则若则若则若以上各例中F′是F的对偶式。不难证明F也是F′对偶式。即F与F′互为对偶式。第2章逻辑代数基础任何逻辑函数式都存在着对偶式。若原等式成立，则对偶式也一定成立。即，如果F=G,则F′=G′。这种逻辑推理叫做对偶原理，或对偶规则。必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能改变，且式中的非号也保持不变。观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都是成对出现的，而且都是互为对偶的对偶式。例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律也成立。第2章逻辑代数基础2.2.3若干常用公式1.合并律ABAAB在逻辑代数中，如果两个乘积项分别包含了互补的两个因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么这两个乘积项称为相邻项。合并律说明，两个相邻项可以合并为一项，消去互补量。第2章逻辑代数基础2.吸收律A+AB=A证：A+AB=A(1+B)=A·1=A该公式说明，在一个与或表达式中，如果某一乘积项的部分因子(如AB项中的A)恰好等于另一乘积项(如A)的全部，则该乘积项(AB)是多余的。BABABAAABAABABAA)(1))((证：第2章逻辑代数基础该公式说明，在一个与或表达式中，如果一个乘积项(如A)取反后是另一个乘积项(如的因子，则此因子是多余的。BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)(证：推论：CAABBCDCAAB证：AB+AC=AB+ABC+AC+ABC=AB+AC+BC（A+A）=AB+AC+BC第2章逻辑代数基础证：AB+AC+BCD=AB+AC+BC+BCD=AB+AC+BC（1+D）=AB+AC该公式及推论说明，在一个与或表达式中，如果两个乘积项中的部分因子互补(如AB项和AC项中的A和A)，而这两个乘积项中的其余因子(如B和C)都是第三个乘积项中的因子，则这个第三项是多余的。第2章逻辑代数基础2.3复合逻辑2.3.1复合逻辑运算和复合门1.与非、或非、与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，即BAF或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，即BAF与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即CDABF第2章逻辑代数基础图2-10与非门、或非门和与或非门的逻辑符号(a)与非门；(b)或非门；(c)与或非门FFBFA(a)FA&ABBFBFA(b)FAABB＋≥1＋FBADCABCDFBADC≥1&(c)第2章逻辑代数基础2.异或和同或逻辑运算异或逻辑的含义是：当两个输入变量相异时，输出为1；相同时输出为0。是异或运算的符号。异或运算也称模2加运算。异或逻辑的真值表如表2-5所示，其逻辑表达式为BABABAFABF000110110110表2-5异或逻辑真值表第2章逻辑代数基础图2-11(a)异或门；(b)同或门FBFA(a)FAABB1＋FBFA(b)FAABB第2章逻辑代数基础同或逻辑与异或逻辑相反，它表示当两个输入变量相同时输出为1；相异时输出为0。⊙是同或运算的符号。同或逻辑的真值表如表2-6所示，其逻辑表达式为ABBABAFABF000110111001表2-6同或逻辑真值表第2章逻辑代数基础由定义和真值表可见，异或逻辑与同或逻辑互为反函数，即BABABABA,不仅如此，它们还互为对偶式。如果，G=A⊙B，不难证明F′=G,G′=F。因此可以将“”作为“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出，两变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊函数。BAF第2章逻辑代数基础表2-7常用异或和同或运算公式此外，AAAAA0(A的个数为偶数)(A的个数为奇数)第2章逻辑代数基础对于一个代数系统，若仅用它所定义的一组运算符号就能解决所有的运算问题，则称这一组符号是一个完备的集合，简称完备集。在逻辑代数中，与、或、非是三种最基本的运算，n变量的所有逻辑函数都可以用n个变量及一组逻辑运算符“·、+、-”来构成，因此称“·、+、-”运算符是一组完备集。2.3.2逻辑运算符的完备性第2章逻辑代数基础但是“与、或、非”并不是最好的完备集，因为它实现一个函数要使用三种不同规格的逻辑门。实际上从反演律可以看出，有了“与”和“非”可得出“或”，有了“或”和“非”可得出“与”，因此“与非”、“或非”、“与或非”运算中的任何一种都能单独实现“与、或、非”运算，这三种复合运算每种都是完备集，而且实现函数只需要一种规格的逻辑门，这就给设计工