矩阵的特征值和特征向量-习题

1第四章习题课2四、证明所给矩阵为正交矩阵典型例题五、将线性无关向量组化为正交单位向量组一、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的应用三、矩阵的相似及对角化六、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵3第三步将每一个特征值代入相应的线性方程组，求出基础解系，即得该特征值的特征向量．一、特征值与特征向量的计算第一步计算的特征多项式；A第二步求出特征多项式的全部根，即得的全部特征值；A432413202423.A计算阶实矩阵的全部特征值和特征向量例32422423)(AEf.)1()8(2解第一步计算的特征多项式A5.,)(的全部特征值即的全部根求出特征多项式第二步Af.,1,8,0)(321全部特征值的为解之得令Af.0)(,811的一个基础解系求相应线性方程组对xAE第三步求出的全部特征向量A6,0524,0282,0425321321321xxxxxxxxx.2121个基础解系化简求得此方程组的一).0(81111数为实的全部特征向量为属于kk7.021,101:,0424,022,0424:0)(,122321321321232基础解系求解得此方程组的一个的一个基础解系求相应线性方程组同理对xxxxxxxxxxAE8.,,132332232是不全为零的实数的全部特征向量为的属于于是kkkkA.,,0,;321332211是不全为零的实数为实数里这的全部特征向量为从而kkkkkkA912112.1,,1)12111219915TkAAk例已知向量（是矩阵的逆阵的特征向量，试求常数的值。（年数学）11AA解：设是所属的的特征值，即，A于是，即2111112111211kk10(3)1(22)kkk由此得方程组11221121.4kk其解为，；，121kA故或时，是的特征向量。21113.121111A,AbaAAab例设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵，试求和的值。11AAA解：矩阵的属于特征值的特征向量为，由于矩阵可逆，故可逆。00.AA于是，，且*AAAAAA两边同时左乘矩阵，得，即，亦即211111211111Abba123221AbAbbAab由此，得方程组2,12abb解方程组得或。1321112132411433AaaAbb由于，由方程组的第一个方程知，特征向量所对应的特征值。1124.bb所以，当时；当时144.,11121,211TnAAAEAAAnkA例设阶方阵满足试证：（）当时，是的一个特征值；（）当且时，是的一个特征值。11TAAEA证：（）由及知，-11TEAAAA1111TTAEAAEAEA1510,1EAA由此得即是的一个特征值。2121Ank（）当且时，TEAAAAAEAAE1nEAEA0,1EAA由此知即为的特征值。125.2A13A例设是非奇异矩阵的一个特征值，试求矩阵的一个特征值。1622,AA解：设是的对应于的一个特征向量，即于是2112423333AAA112221114,3333AAA由此得12133,344A所以故1213A为矩阵的一个特征值。171236.(1,2,3),122221(2,1,2),.(19955)iiTTTAAiiA例设三阶矩阵满足其中向量（，，），（，，），试求矩阵年数学123123123,(,,)(,,)(,2,3),122146221243212226iiAiAAAAA解由可得即181146122243221226212A故72033146122152243221093322621222233解..1式它们有相同的特征多项只需证明有相同的特征值与首先证明APPAAPPEfAPP1)(1APPPP11PAEP1),(fAEA.,,,121的全部特征值就是APPn20.1的特征向量属于其次求iAPP,iiiAiiAPPE)(1又,0)(iiAE即iiAPPPP)(11,)(1iiPAEPiiPAPPE11)(),())((111iiiPPAPP即iiPPAEP11)(,0)(1iiAEP.11的特征向量属于是故iiAPPP21AA的行列式用特征根计算方阵11232383,31,1,2,5,;5.ABBAEAA设是阶矩阵它的个特征值为设求例解.21AAAn来计算要关系的行列式与特征值的重利用,5)(23xxxf令,,,321的全部特征值是因为A二、特征值与特征向量的应用22)(AfB)()()(321fff.288)12)(6)(4(.5EA下面求方法一,5)(EAAg令),(),(),()(321gggAg的所有特征值为所以,2,1,1321的所有特征值为因为A)(5AgEA.72)2()1()1(ggg23),2)(1)(1()(AEfA所以方法二,2,1,1321的所有特征值为因为A.725)1(53AEEA,72)25)(15)(15()5(5fAEA的可逆性来讨论的特征值用方阵AkEA,2.,0,;,0,可逆的特征值时不是当不可逆的特征值时是当AkEAkEAkAkEAkEAk29,(1),8?(2),1,?AnEEAAAAE设为阶方阵若是否可逆设是的特征值且是否可逆例解,1,121的特征值为A,)1(2EA25.8可逆从而AE,8的特征值不是故Ak.,1,均可逆对一般地AkEk于是的特征值不是所以因为,1,1)2(A.均为可逆矩阵故EA.0)1(,01AEAE,)1()(EAAEAEn又;0EA,)1()(EAEAAEn,0EA2610.nnAnAtrAE例设阶方阵的个特征值相同，求证：为奇异阵。n0.AEA证：由题意，可设的特征值为（重），则ntrA由此可知()0,nnAtrAEnAnEnEAnAtrAE所以即是奇异矩阵。27三、矩阵的相似及对角化11,,,,(1),,2,,bcaabcAcababccababcBabcCbcabcacabABCBCCBABC例．设均为复数，令证明：彼此相似（）若，则的特征根至少有两个等于零．2810100011001,100100010TT证：（）令则且112121,,()()TATBTBTCTATC,,ABC即彼此相似．2222,BCCBabcabbcacC（）由知于是的特征多项式为abcECbcacab292222abcabcabbcca2abc,,,CABCAB故的特征根至少有两个为零，进而由彼此相似知，的特征值至少有两个为零。30122012.82006(20032)AaaPPAP例若矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值，并求可逆矩阵，使得。年数学22(6)[(2)16](6)(2)60028022||::aAE矩阵的特征多项式为解31123λλ6λ2A所以的特征值，12λλ6,A由于相似于对角矩阵，故对应于，应有两个线性无关的特征向量61EA因此矩阵的秩应为．从而由42021068400000000EAaa0a可知．12126010210于是对应于的两个线性无关的特征向量可取为，．3232,当时420210840001000000EA123332001220xxx解方程组得对应于的特征向量．1011022100PPPAP令，则可逆，并有．331231231231211331115176,,ABABBAAAAB例．设阶方阵，均可逆，且的特征值为，，，此处，，为整数且；若的特征值为，，，且（），试写出的相似标准形．121232221231231116666ABAA解：由，，为的特征值可知（）的特征值为，，34222123123666517由题设，有，，123123123注意到，，均为整数，得，，．111512123713AAB因此，，的相似标准形依次为：，，2142nAAAA例．设阶阵满足，试证：可对角化．22AA证：由知2021AEAEAA（）（）（）22RAREAn所以，（）（）（）22AEAE又，（），所以223RAREAREn（）（）（）（）232RAREAn由（）、（）知（）（）．12122rrrnAEA于是可设的列向量组的极大无关组为，，，的列向量组的极大无关组，，，1rRA其中（），则由（）式，01rAirn（，，）362012rEAjr（）（，，）12120rrnAA即，，，是的对应于特征值的特征向量，而，，是的对应于特征值的特征向量，12n从而，，线性无关。12nPP令（，，，），则可逆，且122002PAPAr即可对角化，且对角阵中的个数为。371212115,,12mmmiiiinArrrrnAREAnrim例．设阶方阵的全部互异特征值为，，其重数分别为，，，，且．试证：可对角化的充要条件是（）（，，，）0iiiiPEAnrEAxr证：充分性：由（）知，方程组（）的一个基础解系含个解向量，121iiiiiirArim即对应于特征值，有个线性无关的特征向量：，，，（）。121mimirn因为，且，，，互不相等，381111212