近世代数课件(全)--2-8-不变子群和商群

2020/6/1近世代数第二章群论§8不变子群和商群2020/6/1一、引理HG{|}LSaHaG思考题1：，关于子集乘法做成群吗？HG,,abGaHbH,xGxHHx引理，则仍是左陪集证明()()()aHbHabHHabHHaHbHabH,xHHxH,,xGyGyxyexeyHxHHxxH112hxxhhxHyxHyHxH1212,,.hhHstxhhxh11HxxHxHHxxHHx,hxHx2020/6/1一、引理HG{|}LSaHaG思考题1：，关于子集乘法做成群吗？HG,,abGaHbH,xGxHHx引理，则仍是左陪集HG,xGxHHx{|}LSaHaG()aHbHabH11,()eHaHaH答：且，则关于陪集乘法做成群（）2020/6/1二、不变子群的定义NGaGaNNaNG定义1且,,则称是群的一个不变子群（或正规子群）.，记作例1任意群G的两个平凡子群都是不变子群.例2任意群G的中心(){|,}CGcGaGcaac都是不变子群.例3交换群的子群都是不变子群.NG2020/6/1例43{(1},(12),(13),(23),(123),(132)}GS{(1),(123),(132)}N(12){(12),(23),(13)}(12)NNN{(1),(12)}H(13){(13),(123)}H(13){(13),(132)}HH因为，所以是因为不是(1){(1),(123),(132)}(1)NN，所以的不变子群.GG的不变子群.解：2020/6/1三、不变子群的性质NGNGaGaNNa1aNaNnN1anaNG性质1设，则是的不变子群,有，性质2群的任何两个不变子群的交还是的不变子群.aG,有aG,有G性质3不变子群与子群的乘积是子群；不变子群与不变子群的乘积是不变子群.2020/6/1思考题2NHHGNH我们知道“子群”的概念具有传递性:，，那么“正规子群”是否也具有传递性呢？NG,HGNG？例54{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}K4S4{(1),(12)(34)}B4K4S4S4B4K4B不是的不变子群.2020/6/1性质4NHGN.HNG，且，则性质5，但未必是的不变子群，即无传递性.GN,HNHG2020/6/1四、商群/{|}GNaNaG()aNbNabN/NGN()()()aNbNabN()()()aNbNcNaNbNcNabcN()()eNaNaNeNN1()()aNaNeN关于,有左单位元⑤,有逆元.NG①做成群.，故非空；②有乘法运算；③，有结合律；④；证明：2020/6/1四、商群/{|}GNaNaG()aNbNabN关于NG做成群./{|}GNaNaG()aNbNabNGN设，则称关于做成的群为关于的商群.NG定义22020/6/1商群有下列常用的性质:/GN[:].GNG/GN[:]GN.GN1)商群的阶＝2)如果是有限群,则商群的阶＝＝3)有限群的商群还是有限群,且其任一商群的阶是群阶数的因数.eeNN/GN1aNaN为商群的单位元,为的逆元.NG,则4)2020/6/1()()()()()()aNbNabNbaNbNaNNG,rbGba()rrbNaNaN/{|}()GNbNbGaN6)交换群的任一子群都是交换群,且其商群7)循环群的任一子群为不变子群，任一商群为循环群,,由于循环群为交换群，且循环群的子群为所以为循环群.）也是交换群.都是循环群.()Ga（设循环群，故N.G2020/6/1练习：G5NggG/.GN3,GS{(1),(123),(132)}N1.设为整数加群,（1）证明；（2）求2.NG/.GN（1）证明；（2）求NG