面面垂直的判定和性质

2.3.2、2.3.4平面与平面垂直的判定与性质一、二面角及二面角的平面角平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。1、半平面——αlαl从空间一直线出发的两个半2、二面角的定义3、二面角的平面角角的平面角l一个平面垂直于二面角l的棱，并与两半平面分别相交于射线PA、PB垂足为P，则∠APB叫做二面ABPγβαιαβι平面所组成的图形叫做二面角记作：A`B`P`γ`∠A`P`B`与∠APB是否相等?思考:相等(利用等角定理)约定：二面角的平面角取值范围是:[00,1800]l二面角的大小用它的平面角的大小来度量.注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个半平面内10lOABAOB(1)(2)注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个半平面内10lOABAOB(1)(2)2、二面角的平面角的作法：1、定义法：根据定义作出来。2、作垂面：作与棱垂直的平面与两半平面的交线得到。注意：二面角的平面角必须满足：（1）、角的顶点在棱上。（2）、角的两边分别在两个面内。（3）、角的边都要垂直于二面角的棱。oABoAoABB二面角的平面角的定义、范围及作法llll角BAO边边顶点从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。定义构成边—点—边（顶点）表示法∠AOB二面角AB面面棱a从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。面—直线—面（棱）二面角—l—或二面角—AB—图形角与二面角的比较平面与平面垂直定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面互相垂直。.记为：βαAB两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.CD两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。证明：∵∴∴∴ABCDSO已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相垂直？思考题？1.平面SAD⊥平面ABCD2.平面SBD⊥平面ABCD3.平面SCD⊥平面ABCD4.平面SAD⊥平面SCD5.平面SBC⊥平面SCD6.平面SAB⊥平面SAD7.平面SAC⊥平面SBD两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。βαABCD。为垂足，求证：，，，，已知：ABBCDABABCD证明：，内作在CDBE，由.BEAB可知，又CDAB.AB的平面角。是二面角则CDABE两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。作用：由线面垂直证明面面垂直。应用：例1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。BPACO，，，：已知，，，且cba.accbba，，：求证abc证明：，内任取一点在P.Pmn，，作bnam，，，，nm，又c，，cncm.c.accb，，，又ba.ba同理可证（面面垂直的性质定理）例2：求证三个两两垂直的平面的交线两两垂直.例3.如图，立体图形P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点.（1）求证：平面ACE⊥平面PCD；（2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.解：（1）∵△PAD是正三角形，∴AE⊥PD.又平面PAD⊥平面ABCD,且ABCD是矩形,CD⊥AD,∴CD⊥AE.∴AE⊥平面PCD.,ACEAE平面∴平面ACE⊥平面PCD.E为PD的中点，∴CD⊥平面PAD.（面面垂直的性质定理）（面面垂直的判定定理）ABCDPE（2）设AD的中点为O，连PO、BO，则PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面AC,∴PO⊥平面AC,∴∠PBO就是PB与底面AC所成的角.设AO=a，AC与OB的交点为F，则FB=2OF∵PB⊥AC,由三垂线定理得：AF⊥OB.OBOFAO2.3aOB,33aAOPO∴∠PBO=45°故PB与底面AC所成的角为45°.,312OBABCDPEOF课后作业3.预习教材第70页~73页教辅第120页~123页2.教辅第120页~123页1.教辅课时作业第19页~20页2.3.2②④解：