函数与方程思想在初中数学解题中的应用

1函数与方程思想在初中数学解题中的应用张猛【内容提要】：函数与方程思想是初中数学中的基本思想。它们密切相关，有时需要互相转化来解决问题。本文对初中数学中的函数与方程思想的内涵作了探讨，并结合一些具体案例说明了函数与方程思想在初中数学解题中的应用。关键词：函数；方程；函数与方程思想应用案例数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。近年来中考考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。其中，函数与方程思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程思想。一：函数与方程思想的地位与作用函数与方程思想，简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。目前初中阶段主要数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想，化归与转化思想、图形运动思想、数学模型思想。函数与方程思想，既是函数与方程思想的体现，也是两种思想综合运用2的体现，是研究变量与函数，相等与不等过程中的基本数学思想。本文例析函数与方程思想在解题中的应用:二：函数与方程思想的应用案例通过整理与归纳，可以发现，在数学解题中，函数与方程思想常用于以下几类问题的解决。1求代数式的值例1已知23,23,ab求22(3124)(2813)aabb的值。解：因为24,1,,410abababxx所以为方程的两个根。当xa时，2410.aa可得2231243(41)11aaaa；当xb时，222410.28132(41)1111bbbbbb可得∴原式=111=11。解题反思：此题若将a,b的值分别代入所求式中计算，显然运算过程很麻烦。观察发现，所求式中两个括号内的二次项系数之比与一次项系数之比相等，因此可先算出a+b=4,ab=1.利用根与系数的关系构建一元二次方程，这样解起来就简便多了，体现了方程思想的简捷性。2解应用问题例2某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂同时加工这批产品。已知甲厂单独完成加工任务比乙厂单独完成加工任务多用20天，而乙厂每天比甲厂多加工8件产品。公司每天需付甲厂加工费800元，每天需付乙厂加工费1200元。（1）甲、乙两个工厂每天各加工多少件新产品？（2）请你计算两厂合作完成加工任务公司所付费用。解：（1）设甲厂每天加工x件新产品，则乙厂每天加工（x+8）件。依题意得方程960960208xx。3化简得283840xx。解得1216,24xx（不合题意，舍去）当x=16时，x+8=24,则甲、乙两厂每天各加工16件和24件。甲厂独自完成加工任务需时间为96016=60（天）；乙厂独自完成加工任务需时间为96024=40（天）。（2）设甲、乙两厂合作完成加工任务所用时间为y天可得11()16040y。解之，得y=24（天）故公司所付费用为（800+1200）24=4800（元）。解题反思：本题第（1）小题通过列方程得出结论，同时又为第（2）小题列方程提供了条件，思路清晰。这些内容主要考查对基本关系式的运算能力和解决实际问题的应用能力。3图形的计算例3如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=2，BC=3.D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E,CF∥AB交直线DE于F。设CD=x。（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由;(2)当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？解：（1）由已知可证得四边形EACF是平行四边形。当CF=AC时，该四边形是菱形。此时CF=AC=2，BD=3-x可证△ACB∽△EDB，得ED=23（3-x）,则DF=23x。FEACBD4由勾股定理得：2222()23xx，∴x=±61313(舍去负值)，当x=61313时，该四边形是菱形。（2）2123EACDSxx梯形，由题意得，21223xx，∴解得1233,33.xx∵2333xBC∴舍去2x，因此33x，四边形EACD的面积等于2。解题反思：在本例（1）中，利用勾股定理建立方程；在（2）中，利用梯形面积的两个表示式相等建立方程。除此之外，诸如多边形内角和定理、外角和定理、相似三角形对应所成的比例关系式等几何定理、图形性质，都是建立方程的重要桥梁。充分利用这样的“桥梁”，就能较顺利地运用方程思想将几何问题转化成方程问题来解决。4构建函数模型解决应用题例4某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500kg。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，每千克涨价1元，日销售量将减少20kg。（1）现该商场要保证每天赢利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济角度看，这种水果每千克涨价多少元能使商场获利最多？解：设每千克应涨价x元，根据题意得：(10)(50020)6000xx解得：125,10.xx为了使顾客得到实惠，应取x=5(元)。（2）设每千克涨价x元时，总利润为y元。5∴22(10)(50020)20300500020(7.5)6125yxxxxx∴7.5x时，6125masy（元）。解题反思：本题属于商品销售中的最大利润问题，解答这类问题的关键是根据“商品总利润=每件商品的利润×销售量”构建二次函数模型，然后利用二次函数的性质求解。运用二次函数性质求实际问题中的最大值和最小值的一般步骤：①求出函数解析式和自变量的取值范围；②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；③检验求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内。5函数与几何综合题例5一块三角形废料如图所示，∠A=30,∠C=90，AB=12。用这块废料剪出一个小矩形CDEF。其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？解：由分析可得，利用勾股定理求出AC、AD、AE的长，然后利用矩形面积公式解答，设AE的长为x,则DE=12x,AD=32x在Rt△ACB中，∠A=30,∠C=90，AB=12，∴cos3063.ACABFACBDE6∴363.2CDACADx∴2133=(63)(6)93.224CDEFSDECDxxx矩形∴当x=6时，剪出的矩形CDEF面积最大，最大值是93.此时点E应选在AB的中点。解题反思：本题从研究变量的变化趋势入手，借助勾股定理弄清线段之间的变化关系来求解矩形的最大面积，构造函数模型，利用函数的概念、性质、图像求解问题。例6如图，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=25，5sin,5B点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP。(1)求AC、BC的长.（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y.当x为何值时，y最大？求出y的最大值。解：根据三角函数的定义知5sin5ACBAB,由25AB，解得AC=2。再利用勾股定理求得另一条直角边BC的长为4。（2）由分析可得：∵PD∥AB∴△ABC∽△DPCDBCAP7∴1.2DCACPCBC又∵PC=x,则DC=12x，AD=122x∴21111(2)(2)1.2224yADPCxxx∴当x=2时，y的值最大，最大值是一。解题反思：本题是以点的运动为背景的动态几何问题，解决这类问题的关键是利用面积计算公式构建二次函数模型，然后利用二次函数的性质求出最大值或最小值。三结束语函数思想是用函数的概念、性质去分析和转化问题。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关方程、最值之类的问题，利用函数观点加以分析；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质等知识解答。方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程或方程组）。思想方法是数学的精髓和灵魂，是对数学内容的一种本质认识，灵活运用数学思想方法是提高学生数学素养和数学能力的根本。若干年后，我们做过的题目可能会忘记，但留在我们脑海里的是数学思想方法。