第3章布尔代数和数字逻辑-计算机组成原理

在布尔逻辑和计算机硬件电路之间建立起联系学会如何分析和设计简单的逻辑电路了解简单的数字逻辑电路如何组合在一起形成复杂的计算机系统2运算器原理图：参见实验指导书3实验机箱4十九世纪末，英国数学家布尔发现人的逻辑思维可以用数学表达式表达，于是诞生了二进制的布尔逻辑代数。当代计算机正是布尔逻辑代数思想的具体实现但是布尔本人并不是计算机逻辑电路的实现者，JohnAtanasoffandClaudeShannon是最早提出使用二值电路实现布尔逻辑的倡导者。56二十世纪中期，计算机曾被称为“思想机”或“电脑（ElectronicBrains）”,许多人谈起来都害怕。如今，“电脑”一词仍沿用，但其仅是数字电路的一个组织体，日常工作与生活中不可少的工具布尔逻辑和当代计算机逻辑电路之间存在着紧密的关系，本章的内容就是要学习布尔代数运算规则并应用于二值数字电路分析。6布尔代数是一种处理二值变量的逻辑数学◦在形式逻辑中，二值表达为“真”与“假”◦在数字系统中，二值表达为“开”“关”、“高”“低”、1，0）布尔表达式表达了对布尔变量的操作◦常见的三种操作是与（AND）,或（OR）,非（NOT）7两个变量x,y的“与”（布尔积）,“或”（布尔或）的结果如表所示。如何用电路表示？8布尔非简称“非”，结果如表所示有时以x´或x¬表示非。9一个布尔函数必须满足下列条件：•有布尔变量；•有布尔操作；•只有{0，1}二值之一10真值表是描述布尔运算的有效工具之一例如：构建下列函数的真值表，即列出变量组合值和函数结果值为了清楚起见，表中包含了中间计算变量11F(x,y,z)=xyz+xyzF(a,b,c)=ab+bc+abc1213布尔代数表达式中的优先权问题：◦从高到低依次是NOTANDOR14数字电路和布尔代数的关系：◦计算机中以数字电路实现布尔计算◦布尔表达式越简单电路实现起来越容易（规模越小）◦为此，需要尽力化简布尔表达式◦简单的电路价格便宜、功耗小、运行速度快布尔表达式的化简有多种方法和途径15布尔表达式化简的0-1定律：16注：幂等律（idempotent)（恒等式）交换律、结合律、分配律17吸收律、反演律（德摩根）、互补律18吸收律（补充）◦x+y=x+y◦x(+y)=xy反演律的扩充:可以扩展到任意多个变量19补函数:补函数即原函数求反。例如：补函数20利用德摩根定律把函数F(x,y,x)=xy+xz+yz进行取反F=xy+xz+yz=xyxzyz=(x+y)(x+z)(y+z)(未化简）21F=x(y+z),写出其补函数式22F=x+y+z23补函数可以直接从原函数写出来：◦原变反，反变原，+变·，·变+24F=x·(y+z)25F=x+(y·z)=x+yz利用布尔恒等式证明吸收律26证明德摩根定律提示：可用真值表法2728两边相等成立两边相等成立练习：使用上述化简公式化简函数29从前面的简化过程看出，一种逻辑关系可以有许多表达形式◦这些形式从逻辑结果看完全等价◦逻辑上等价的表达式有相同的真值表为不至于引起混乱，通常采用两种标准的规范表达式：30与-或（积之和）形式：变量之间先“与”后“或”或-与（和之积）形式：变量之间先“或”后“与”31使用真值表直接写出“与-或”表达式的方法：◦把函数结果值为1的项直接写出，然后相加（注意：结果不一定是最简式）32化简下列函数33F(x,y,z)=(x+y)(x+y)34F(x,y,z)=(x+y)(x+y)=xyxyDeMorgan’s,doublecomplete=(xx)(yy)associative=0inverse35基于逻辑输入变量，产生逻辑输出结果的电路称为逻辑门电路◦一个门电路由若干个晶体管组成的，但逻辑上仅看作是一个单元◦一个集成电路由若干个门组成，实现特定逻辑关系的变换36三种基本的逻辑门符号：直接对应着其布尔操作（“与”门、“或”门、“非”门）37“异或”门38试写出其表达式？“与非”门和“或非”门是非常重要的两个门◦各两种表示符号39任何逻辑关系都可以仅仅使用“与非”和“或非”两种门电路构成，所以它们称为“全能”门◦易生产、造价低4041◦一个逻辑门电路可以有多个输入，至多两个反相输出门电路组合起来可从逻辑上实现表达式的结果图示电路组合在一起，实现下面的逻辑表达式42当电路的输出仅与当前即时输入状态有关时，称为组合逻辑电路。例如上述例子：43一个组合逻辑电路的实例：◦半加器，实现两位数字相加并产生一位进位44利用一个异或门和一个与门实现半加45全加器除了本位和之外，还需要考虑低位来的进位全加器真值表如下：46由真值表直接写出Sum和carry_out表达式…47sum=x⊕y⊕carry_incarry_out=xy+(x⊕y)carry_in48全加器实现电路49等价符号(x⊕y)carry_in(x⊕y)xy把上述全加器连接起来构成串行加法器（波纹进位加法器ripple）50缺点是高位需要等待低位的进位，速度慢译码器是另一种重要的组合逻辑电子器件，常用于对地址总线上的存储单元地址进行译码◦例如：输入端n条地址线高低电平的组合，输出端可产生2n种状态之一。51一个2-4线译码器52若x=0,y=1,哪条输出端是高电平？多路选择器：用于从多个输入中选择一个输出◦由选择控制线控制哪一路可以输出◦n条输入线需要log2n条控制线53选择控制线输入线4选1多路选择器电路54假定S0=1，S1=0,哪一条I输入被输出？从下列电路，写出输出逻辑表达式和真值表55F=(xy+x)⊕(xz)=x+yz+yz56当电路具有记忆功能时，其输出除了与当前即时输入状态有关外还与先前的记忆状态有关，称为时序逻辑电路◦时序逻辑电路具有“记忆”逻辑状态的能力◦时序逻辑电路利用序列时钟脉冲控制事件的发生顺序57时序电路状态的改变仅发生在时钟的某一点，这些点可能包括：◦时钟的上升沿（瞬时点）◦时钟的下降沿（瞬时点）◦时钟电压的最高持续期◦时钟电压的最低持续期58发生在上升或下降沿的状态变化称为边缘触发电路。(edge-triggered)发生在最高或最低持续期变化称为电平触发电路（Level-triggered）59时序逻辑电路依靠反馈来保持其状态。反馈即把输出端引回到输入端◦例如：输出端Q始终是0或1，Why?60一个最基本的时序逻辑元件：SR-触发器及其逻辑符号(2-或非门)set/reset61(2或非门)++QRSQa)逻辑电路图b)逻辑符号QQSR状态特征表是描述触发器的最佳方法◦Q(t)是原状态：在时刻t触发器的状态◦Q(t+1)是新状态：在时刻t+1，当下一个时钟脉冲到来后触发器的状态62事实上，SR触发器可看作有三个输入:S,R和Q，所以其真值表如右◦注意：当S=R=1时，存在输出状态不定的可能63对SR触发器加以改进，得到J-K触发器。（解决了不允许两个输入同时为1的问题，JackKilby的建议—集成电路发明者之一）64J-K触发器的特征表，不会出现不稳定的情况。65另外一种改进，得到D-触发器66符号表达D-触发器是计算机寄存器和存储器的基本单元电路由4个D-触发器组成的4位寄存器及其符号67一个时序逻辑电路例子：◦二进制计数器练习画出脉冲时序图68时序逻辑电路例：4(words)x3(bitsperword)memory69•分析下面的组合逻辑电路实现的功能：Figure3.17ASimpleTwo-BitALU–两位数的ALU实现与或非和加运算•Thecontrollines,f0andf1,determinewhichoperationistobeperformed:00foraddition(A+B),01forNOTA,10forAORB,11forAANDB完成下列时序逻辑电路的真值表7273数字电路的分析根据逻辑电路图的输入得到输出数字电路的设计指从真值表中设计出逻辑电路图74嵌入式系统就是一种专用计算机系统，日常生活用品中常见。例如，许多家用电器。其中用到了本章所讲的数字电路7574LS245(双向寄存器)767774LS245逻辑符号74LS273(带清除端的8位寄存器)7879VCCA01k四个输入端，16个输出端。管脚图80功能逻辑图，16个输出端同时只能有一个是低电平81真值表82阅读：◦第1章运算器1.1基本运算器实验附录1，2，383基本概念和术语：5，8，9，12，14，18练习题：11,13,19,22,29,34,40,4184布尔逻辑是计算机实现的逻辑过程布尔函数可完全由真值表来描述逻辑门电路是实现布尔运算的小型电路最基本的逻辑门电路是与、或、非门异或门常用于加法器和奇偶校验与非门和或非们又称为“全能”门85计算机中的电路由组合逻辑和时序逻辑构成组合逻辑电路的输出状态仅与当前的输入逻辑变量有关时序逻辑电路的输出状态依靠时钟控制其状态的改变基本的时序逻辑电路单元是触发器：SR,JK,D触发器是最常见也最重要8687