2.3.1--离散型随机变量的均值(公开课)

2.3.1离散型随机变量的均值数学期望引入•对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。•我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.（1）理解离散型随机变量均值的概念;（2）会计算简单的离散型随机变量的均值，并解决一些实际问题.知识与技能教学目标过程与方法（1）理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”;（2）能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望.情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值.教学重难点重点离散型随机变量的均值或期望的概念.难点根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望.•如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91那你的平均成绩是多少？12...nxxxxn算术平均数问题：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均加权平均数•权是称锤，权数是起权衡轻重的作用的数值；•加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。•按3：2：1的比例混合•混合糖果中每一粒糖果的质量都相等•如何给混合糖果定价才合理？18元/kg24元/kg36元/kg定价为可以吗2618+24+363•现在混合糖果中任取一个，它的实际价格用Ｘ表示，Ｘ的分布列为：１８２４３６12ＸＰ1613合理价格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)121316代表X的平均取值假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗元糖果所属种类的单价（）,你能写出X的分布列吗？kg数学期望若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称：EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。•它反映了离散型随机变量取值的平均水平。理解概念32118243623666EX随机变量X的均值与X可能取值的算术平均数相同吗182436263可能取值的算术平均数为XX182436P612636X的分布列随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数X的均值X123456P1616111712...66662EX　126762...X可能取值的算术平均数为随机变量x的均值与x可能取值的算术平均数何时相等1616161616期望的线性性质•若X是一个随机变量，则Y=aX+b仍然是一个随机变量，其中a、b是常数。•EY=E(aX+b)=aEX+bP1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxnnnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabaEX例1•在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？解：该随机变量X服从两点分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7X01p0.30.7如果随机变量X服从两点分布，那么EX=pξ10pp1-p探究•如果我们只关心他是否打中10环，则在他5次射击中，打中10环的次数设为X，则求X的均值。如果X服从二项分布，则EX=？()kknknPXkCpq0011011222001...12...nnnnnnnnnnnnnnEXCpqCpqnCpqCpqCpqnCpqnp若X～B(n，p)，则EX=np11kknnkCnC例2•一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的。每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选出一个，分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。解：设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数它们都满足二项分布：X1～B(20，0.9)X2～B(20，0.25)所以：EX1=np=20×0.9=18EX2=np=20×0.25=5甲所得分数的均值为：18×5=90乙所得分数的均值为：5×5=25解：设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数则Y1=5X1Y2=5X2所以：EY1=E(5X1)=5EX1=90EY2=E(5X2)=5EX2=25Xx1x2…x20Pp1p2…p20Y5x15x2…5x20Pp1p2…p20思考甲同学一定会得90分吗？不一定.他的成绩是一个随机变量,可能取值为0,5,10,…,95,100.这个随机变量的均值为90分.其含义是在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90分.数学期望小结•EX表示X所表示的随机变量的均值；•E(aX+b)=aEX+b•两点分布：EX=p•二项分布：EX=np•求数学期望时：1.已知是两点分布或二项分布，直接代用公式；2.其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。作业•课本64页练习2、3、4、5；•69页B组第1题。