复变函数与积分变换-第7章-傅立叶变换

第7章傅里叶变换本章学习目标1、了解傅里叶积分;2、理解傅里叶变换;3、掌握函数及傅里叶变换;4、熟悉傅里叶变换的性质.积分变换所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数)乘上一个确定的二元函数,然后计算积分,即这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.xfsxk,badxsxkxfsF,第7章傅里叶变换7.1傅里叶变换的概念与性质47.1.1傅里叶积分1、连续或只有有限个第一类间断点2、只有有限个极值点这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件,即在区间[-T/2,T/2]上5因此,任何满足狄氏条件的周期函数,可表示为三角级数的形式如下:1,2,nxdxsinnωtfT2b1,2,nxdxcosnωxfTaxdxfTaTxsinnωbxωncosaaxf2T2T2T2T2T2TTnTnT0nnn0T）（）（）（　　　　其中(7.1)22221xf6),,,n(dxexfTCedefTecxfTTnnTTnnxjTnnxjjTnxjnT210112222而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中7例1定义方波函数为1||01||1)(tttf如图所示:11otf(t)12,2422,)4()(4nnTntftfnn8113T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则9则),2,1,0()sinc(21sin2141114141)(41)(11122422neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn10SINC函数介绍则函数在整个实轴连续用不严格的形式就写作所以定义但是因为处是无定义的严格讲函数在函数定义为,xxxsin,)sinc(xxsinlim,xxxsin)xsinc(sincx101010011SINC函数的图形:sinc(x)x12前面计算出以竖线标在频率图上可将nnnncnTnnnc,22),2,1,0()sinc(2113现在将周期扩大一倍,令T=8,以F(T)为基础构造一周期为8的周期函数F8(T)4,4822,)8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t14则),2,1,0()sinc(41sin4181118181)(81)(11144822neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn15则在T=8时,以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,482),2,1,0()sinc(4116如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出以竖线标在频率图上再将nnnncnnnnc,8162),2,1,0()sinc(8117一般地,对于周期T),2,1,0()sinc(2sin211111)(11122nTTeeTjeTjdteTdtetfTcnnnjjntjntjtjTnnnnnTTn18当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是SINC函数的形状,因此,如果将方波函数F(T)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即SINC函数的形状看作是F(T)的各个频率成份上的分布,称作F(T)的傅里叶变换.19对任何一个非周期函数F(T)都可以看成是由某个周期函数FT(T)当T时转化而来的.作周期为T的函数FT(T),使其在[T/2,T/2]之内等于F(T),在[T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,FT(T)与F(T)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数FT(T)便可转化为F(T),即有lim()()TTftft20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)21,,2,,d)(1lim)(d)(1)(1jjjj2222nnnnnntTTntTTTTneefTtfeefTtfnTTnnTTn或两个相邻的点的距离为布在整个数轴上所对应的点便均匀分取一切整数时当可知由公式22如图nntTntTTnTTnnnTTneefeefTtftfjj0jj2222d)(21limd)(1lim)()(又可写为T2{O123n-1nT2{T2{T2{23tnnnTnnnnTnntTtTnTnnnnTTnnnTTneefTeeftfeefjj0jj0jjd)(21)()()(,,0)(limd)(21lim)(d)(21)(2222即当令jj0jj1()()d2()lim()()d()d1()()dd2nnntnTnnnnntfeeftftfee由最后得24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式,简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为的傅里叶积分(简称傅氏积分).()ft若函数在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多有有限个极值点）,并且在上绝对可积，则有：傅氏积分存在定理()ft,dedeftjj)(21()(0)(0)2fttftftt为连续点为间断点收敛绝对可积是指的在td|)t(f|),(上式称为傅氏积分的复指数形式，利用欧拉公式，也可以转化为三角形式.dd)t(cos)(f)t(f,d)t(sin)(fdd)t(sin)(fjd)t(cos)(fdde)(fdede)(f)t(f)t(jtjj21212121的奇函数是因2627又考虑到积分0()cos(),1()()cos()dd(1.5)21()()cos()dd(1.6)ftdftftftft是的偶函数从得最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式也叫做的傅氏积分表达式如果函数满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设7.1.2傅里叶变换的概念()()jtFftedt1()()2jtftFed()ft叫做()ft的傅氏变换,象函数,可记做=ℱ[]()F叫做()F的傅氏逆变换,象原函数,()ft()ft=ℱ1()F()F()ft1()()2jtftFedzf例2求函数的傅氏变换()()jtFftedt1()00tcftctc解022sin020ccjtjtcedtedtcc例3求指数衰减函数的傅氏变换和傅氏积分表达式.解()0()022()()101jtjttjtjtFftedtedteedtejjj0t0()(0)t0tfte这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数tf(t)2222222222011()()221(cossin)21cossinsincos21cossinjtjtjftFededjtjtdttttdjdttd(00)(00)10,22fft若上式右端为22000cossin020ttttdtet于是7.1.3－函数及其傅里叶变换在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.函数的定义（1）看作矩形脉冲的极限（2）函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为函数：ⅠⅡ()0(0)tt()1tdt1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图ot()t0()tt定义为满足下列条件的函数00(1)()0(0)ttt0(2)()1ttdt如下图1t0()tto0t函数的性质（1）对任意的连续函数()ft,都有()()=0tftdtf()t()ft()t0f00()()ttftdtft0()tt()ft0()tt0ft（2）函数为偶函数,即()t()()tt（3）()ttdtut其中,0001)(tttu称为单位阶跃函数.反之,有)(tudtdt.Otu(t)函数的傅里叶变换由于()F=ℱt()jttedt10jtet可见,ℱ[t]=1,ℱ-1[1]=t.与常数1构成了一个傅氏变换对,即t与也构成了一个傅氏变换对,即0tt0tje0tt0jte1t一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对例4可以证明单位阶跃函数0001)(tttu的傅氏变换为()F1()j011sin()2tutdut的积分表达式为ut1()jO|F()|例5证明()1ft的傅氏变换为()2()F证明()ft=ℱ1()F11()2()2210jtjtjtFedede