数据包络分析法

数据包络分析（DEA）DataEnvelopmentAnalysis主讲：孙玉虎中国矿业大学徐海学院1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯),W.W.Cooper(库伯),及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（DataEnvelopmentanalysis,简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”,同时为“规模有效”与“技术有效”((即：总体有效性))的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”.一、产生背景1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队.数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.一、产生背景一、产生背景DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。二、DEA模型概述二、DEA模型概述决策单元(DMU)我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例子假设有5个生产任务相同的工厂，每个工厂都有两种投入和一种产出表一：各产具体情况工厂(DMU)ABCDE投入1105131投入2171122产出1202062410我们如何判定这五个工厂谁的生产情况好一点呢？•为了便于比较，现把5个DMU的各项投入和产出按比例算好，使其产出相同，这样就可以只比较投入了。如表二：DMUABCDE投入11030201512投入2176201024产出120120120120120C2R模型及其基本性质1.C2R模型设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以用下图表示：设：n个决策单元（j=1，2，…，n）每个决策单元有相同的p项投入（输入）（i=1，2，…，p）每个决策单元有相同的q项产出（输出）（r=1，2，…，q）XiJ——第j决策单元的第i项投入yrj——第j决策单元的第r项产出决策单元12…n投入项目12…pX11X12…X1nX21X22…X2n…………Xp1Xp2…Xpn12…n决策单元y11y12…y1ny21y22…y2n…………yq1yq2…yqn12…q产出项目权重v1v2::vp权重u1u2:uq设投入指标和产出指标的权系数向量分别为V=(v1，v2，…，vp)T，U=(u1，u2，…，uq)T对每一个决策单元k，定义一个效率评价指标nkxvyuxvxvyuyuhpiikiqjjkjpkpkqkqkk,,2,1,111111即：效率指标hk等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第k个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率。可以适当地选择权系数U、V，使得hk≤1。现在，建立评价第K0个决策单元相对有效性的C2R模型。设第k0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：TqkkkTpkkkyyyYxxxX),,,(,),,,(000000210210效率指标h0=hk0,在效率评价指标hk≤1(k=1,2,…，n)的约束条件下，选择一组最优权系数U和V，使得h0达到最大值，构造优化模型(分式规划)0000000022112211110pkpkkqkqkkpiikiqjjkjxvxvxvyuyuyuxvyuhMaxpiqjvunkxvxvxvyuyuyuxvyutsijpkpkkqkqkkpiikiqjjkj,,2,1;,,2,1,0,),,2,1(,1..2211221111上述模型中xik,yrk为已知数（可由历史资料或预测数据得到），vi,uj为变量。模型的含义是以权系数vi,uj为变量，以所有决策单元的效率指标h0为约束，以第k0个决策单元的效率指数为目标。即评价第k0个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决策单元而言的。)(,),,,(,),,,(2121PyyyYxxxXTqkkkkTpkkkk则有矩阵形式记000XVYUhMaxTT0,),,2,1(,1..VUnkXVYUtskTkT接下来，作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规划模型。UtVtXVtT,,10令00000)(:YYUtYUtXVYUTTTTT则,1)()(kTkTkTkTkTkTkTkTXYXVtYUtXVtYUtXVYU0kTkTYX即1)(00000XVXVXVtXVtXTTTTT0:)(YVMaxPTp0,1),,2,1(,0..0XnkYXtsTkTkTqqkkkPyyyVMax00022110)()(..11111111qqppyyxxts………………………………………………0)()(1111qqnnppnnyyxx10011ppkkxxqjpiji,,2,1;,,2,1,0,展开可写为：其对偶规划为：DVMin011111)(..knnxxxts………………………………为自由变量;,,2,1,0nkk0)(11pknpnpxxx011111knnyyy………………………011qknqnqyyy为了方便计算，我们引入引入剩余变量和松弛变量、TpsssS),,,(21,),,,(21TqsssS将不等式约束化为等式约束，得DVMinD:)(01..XSXtskkkk0,;,,2,1,0SSnkk01YSYknkk小结:构建DEA模型的思路衡量某一决策单元j0是否DEA有效——是否处于由包络线组成的生产前沿面上，先构造一个由n个决策单元组成（线性组合成）的假想决策单元。如果该假想单元的各项产出均不低于j0决策单元的各项产出，它的各项投入均低于j0决策单元的各项的各项投入。即有：∑jyrj≥yrk0（r=1，2，…，q）∑jxij≤Exij0（i=1，2，…，p，E＜1）∑j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn这说明j0决策单元不处于生产前沿面上。三.评价系统的DEA有效性三.评价系统的DEA有效性：决策单元k0为DEA有效的定义定义1如果线性规划(P)的最优解满足下列条件VP=0T·Y0=1则称决策单元k0为弱DEA有效。定义2如果线性规划(P)的最优解满足条件VP=0T·Y0=1，并且0＞0,0＞0则决策单元k0为DEA有效。0:)(YVMaxPTp0,1),,2,1(,0..0XnkYXtsTkTkTDVMinD:)(01..XSXtskkkk0,;,,2,1,0SSnkk01YSYknkk定理1线性规划(P)及其对偶规划(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值Vp=VD≤1定理2关于对偶规划(D)，有①如果(D)的最优值VD=1，则决策单元k0为弱DEA有效；反之亦然；②如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件：s0-=0,s0+=0，则决策单元k0为DEA有效；反之亦然。定理3决策单元的最优效率指标Vp与投入指标值Xik及产出指标值Ykj的量纲选取无关。3.评价系统DEA有效性的判定在实际应用中，无论利用(P)还是(D)，上述判断都并非易事。为了方便地使判定决策单元DEA有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。从而，可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性。设是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内，表示一个小于任何正数且大于零的数，考虑带有非阿基米德无穷小量的C2R模型：0:)(YVMaxPTPTTTTTkTkTeeXnkYXtsˆ1),,2,1(,0..0)]ˆ([:)(seseVMinDTTD01..XSXtskkkk0,;,,2,1,0SSnkk01YSYknkk其中Teˆ=(1,1,…,1)是元素均为l的p维向量，eT=(1,1,…,1)是元素均为l的q维向量。定理4设为非阿基米德无穷小量，线性规划（D）的最优解为0,s0-,s0+,0，有①若0=1，则决策单元k0为弱DEA有效；②若0=1，并且S0-=0,S0+=0，则决策单元k0为DEA有效。利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA有效。在实际操作中，只要取足够小，例如取=10-6。用单纯形法求解，通常可利用线性规划软件(如QSB，Lindo等)，在计算机上实现。四、C2R模型应用例：设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如下图。判定各个决策单元是否DEA有效。1234决策单元投入1→13342→31321121→1产出解：①决策单元1所对应的线性规划（D），取=10-6，为（D）：MaxVD=[-0.000001(s-1+s-2+s+1)]s.t.1+32+33+44+s-1=31+2+33+24+s-2=31+2+23+4–s+1=11,2,3,4,s-1,s-2s+1≥0利用单纯形法求解，得到最优解0=(1,0,0,0)T，S10-=S20-=S10+=0，0=1因此，决策单元1为DEA