双休作业五-方法技巧训练1-图形的旋转在解题中的巧用

第二十三章旋转双休作业五方法技巧训练1图形的旋转在解题中的巧用1234567891011121．如图，在等边三角形ABC中，点D为△ABC内一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转得△ACE，则∠DCE＝________．90°返回1技巧图形的旋转在求角度中的应用2．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数．解：如图，将△PCD绕点D顺时针旋转90°得到△QAD，连接PQ，则△PDQ是一个等腰直角三角形．∴∠DPQ＝45°，QD＝PD＝2，QA＝PC＝3.在等腰直角三角形PDQ中，PQ2＝DP2＋DQ2＝8.在△PAQ中，PA2＋PQ2＝1＋8＝9＝AQ2，∴∠APQ＝90°.∴∠APD＝∠APQ＋∠DPQ＝90°＋45°＝135°.返回3．(中考·贺州)如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE＝2，DF＝3，则AH的长为________．62技巧图形的旋转在求线段长中的应用返回4．(中考·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．(1)证明：由旋转的性质，得∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE.又∵AB＝AC，∴AE＝AD.由∠BAC＝∠DAE得∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.在△AEC和△ADB中，∴△AEC≌△ADB(SAS)．(2)解：∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°.,,AEADCAEBADACAB∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形．∴BD2＝2AB2，即BD＝2.∵AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝2－2.返回225．如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EFBF＋CE.3技巧旋转在说明线段不等关系中的应用证明：由题意可知BM＝MC，∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．∴BF＝CN，FM＝MN.连接EN，又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC中，ENNC＋CE，∴EFBF＋CE.返回6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．(1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.4技巧利用旋转确定点的坐标(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得到图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．解：(1)如图．(2)①旋转角为90°.②B2(6，2)．返回7．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到正方形AB′C′D′，求图中阴影部分的面积．5技巧利用旋转求面积解：设CD与C′B′交于点E，连接AE.在Rt△ADE和Rt△AB′E中，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E.∴∠DAE＝∠B′AE.∵∠BAB′＝30°，∴∠B′AE＝∠B′AD＝×(90°－30°)＝30°.,,AEAEADAB1212∴AE＝2B′E.又∵AE2＝AB′2＋B′E2，AB′＝，∴B′E＝1.S四边形AB′ED＝2S△AB′E＝2××1×＝.∴S阴影＝S正方形ABCD－S四边形AB′ED＝3－.123333返回8．(中考·日照)如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ.求证：(1)EA是∠QED的平分线；(2)EF2＝BE2＋DF2.6技巧旋转在说明平方关系中的应用证明：(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF.∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠QAE＝∠BAQ＋∠BAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE.在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE.∴∠AEQ＝∠AEF，即EA是∠QED的平分线．,,,AQAFQAEFAEAEAE(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF.由题易知∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，∴∠QBE＝∠ABQ＋∠ABD＝45°＋45°＝90°.∴在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2，∴EF2＝BE2＋DF2.返回9．如图①，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．(1)连接BE，CD，求证：BE＝CD.(2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.7技巧旋转在说明图形全等中的应用①当旋转角为________度时，边AD′落在边AE上．②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连接BD′，CD′，当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．(1)证明：∵△ACE，△ABD都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD.(2)解：①60②当AC＝2AB时，△BDD′与△CPD′全等．证明：由旋转可知AB′与AD重合．∴AB＝BD＝DD′＝AD′，∴四边形ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠ABD＝30°，DP∥BC.12∵△ACE是等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝∠ACE＝30°.∵DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30°，∴BD′＝CD′.∴△BDD′≌△CPD′.12返回10．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图①所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°),如图②，AE与BC交于8技巧旋转在说明图形形状中的应用点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；证明：由题可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴AM＝AN.(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．解：当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵α＝30°，∴∠FAN＝30°，∴∠FAB＝120°.∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B＝60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴平行四边形ABPF是菱形．返回11．(中考·南充)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2，其中正确结论是________(填写序号)．9技巧图形变换说明线段关系①②③返回12．(中考·黑龙江)已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH.(1)如图①所示，易证：OH＝AD且OH⊥AD(不需证明)；(2)将△COD绕点O旋转到图②，图③所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．解：(2)题图②的结论：OH＝AD，OH⊥AD.证明：如图①，延长OH到点E，12使得HE＝OH，连接BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD，由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.题图③的结论：OH＝AD，OH⊥AD.121212证明：如图②，延长OH到点F，使得HF＝OH，连接BF，延长FO交AD于点G.易证△BFO≌△ODA，∴OF＝AD，∴OH＝OF＝AD，由△BFO≌△ODA，知∠FOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOG＝∠FOB＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.1212返回