高三培优-极值点偏移问题的处理策略及探究学生版

第1页共4页第2页共4页高三培优--极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数()fx在0xx处取得极值，且函数()yfx与直线yb交于1(,)Axb,2(,)Bxb两点，则AB的中点为12(,)2xxMb，而往往1202xxx.如下图所示.极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！【问题特征】【处理策略】一、不含参数的问题.例1.（2010天津理）已知函数()()xfxxexR，如果12xx，且12()()fxfx，证明：122.xx二、含参数的问题.例2.已知函数xaexxf)(有两个不同的零点12,xx，求证：221xx.例3.已知函数()lnfxxax，a为常数，若函数()fx有两个零点12,xx，试证明：212.xxe第3页共4页第4页共4页例4.设函数()()xfxeaxaaR，其图像与x轴交于)0,(,)0,(21xBxA两点，且21xx.证明：12()0fxx.【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路?【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景.拉格朗日中值定理：若函数()fx满足如下条件：（1）函数在闭区间[,]ab上连续；（2）函数在开区间(,)ab内可导，则在(,)ab内至少存在一点，使得()()()fbfafba.当()()fbfa时，即得到罗尔中值定理.上述问题即对应于罗尔中值定理，设函数图像与x轴交于12(,0),(,0),AxBx两点，因此21211221()()(e)()0002xxABfxfxeaxxkxx，∴2121xxeeaxx，……由于12()()0fxfx，显然11()()0fxfx与11()()0fxfx，与已知12()()0fxfx不是充要关系，转化的过程中范围发生了改变.例5.（11年，辽宁理）已知函数2()ln(2).fxxaxax（I）讨论()fx的单调性；（II）设0a，证明：当10xa时，11()()fxfxaa；（III）若函数()yfx的图像与x轴交于,AB两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0()0fx.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数a和b的对数平均定义：(),(,)lnln().ababLababaab对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2ababLab（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当ab时，等号成立.只证：当ab时，(,)2ababLab.不失一般性，可设ab.证明如下：（I）先证：(,)abLab……不等式1lnlnln2ln(1)abaabaabxxxbbaxbab其中构造函数1()2ln(),(1)fxxxxx，则22211()1(1)fxxxx.因为1x时，()0fx，所以函数()fx在(1,)上单调递减，故()(1)0fxf，从而不等式成立；（II）再证：(,)2abLab……不等式2(1)2()2(1)lnlnlnln(1)(1)(1)aabaxababxxaabbxbb其中构造函数2(1)()ln,(1)(1)xgxxxx，则22214(1)()(1)(1)xgxxxxx.因为1x时，()0gx，所以函数()gx在(1,)上单调递增，故()(1)0gxg，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对,abR，都有对数平均不等式(,)2ababLab成立，当且仅当ab时，等号成立.【挑战今年高考压轴题】（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数2)1()2()(xaexxfx有两个零点21,xx.证明：122xx.