高考数学平面向量与解析几何

第１８讲平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆14922yx的焦点为F,1F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。解：F1（－5,0）F2（5,0）,设P（3cos,2sin）21PFF为钝角∴1253cos,2sin)(53cos,2sin)PFPF（=9cos2－5＋4sin2=5cos2－10解得：55cos55∴点P横坐标的取值范围是（553,553）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PAPB的最大值和最小值。分析：因为O为AB的中点，所以2,PAPBPO故可利用向量把问题转化为求向量OP的最值。解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：{1,0},{1,0}OAOB0,1OAOBOAOB又由中点公式得2PAPBPO所以222()2PAPBPAPBPAPB=2(2)2()()POOAOPOBOP=224222()POOAOBOPOPOAOB=222OP又因为{3,4}OC点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上,所以5,2,OCCP且OPOCCP所以OCCPOPOCCPOCCP即37OP故2222022100PAPBOP所以22PAPB的最大值为100，最小值为20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例3、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足)||||(ACACABABOAOP，＋，0，则P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：因为||||ABACABACABAC、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||ABACABAC是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又()ABACOPOAAPABAC，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12vv、；PCyxAoB（2）求出角平分线的方向向量1212vvvvv（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（00,xy），其方向向量为(,)vab，其方程为00xxyyab}例4、（2003年天津）已知常数0a，向量(0,)(1,0)ca，i，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点),0(aA以2ic为方向向量的直线相交于点P，其中R．试问：是否存在两个定点FE、，使得PEPF为定值，若存在，求出FE、的坐标；若不存在，说明理由．（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.∵(0,)(1,0)ca，i，∴ci=（λ，a），2ic=（1，－2λa）.因此，直线OP和AP的方程分别为axy和axay2.消去参数λ，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy.整理得.1)2()2(81222aayx……①因为,0a所以得：（i）当22a时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；（ii）当220a时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；（iii）当22a时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2aaE和))21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点.点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是(0),2aa，求P的轨迹。而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于49，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。例5．（2004年天津卷理22）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（0c）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OQOP，求直线PQ的方程；（3）设AQAP（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明FQFM.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222ayax.由已知得).(2,2222ccacca解得2,6ca所以椭圆的方程为12622yx，离心率36e.（2）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为)3(xky.由方程组)3(,12622xkyyx得062718)13(2222kxkxk依题意0)32(122k，得3636k.设),(),,(2211yxQyxP，则13182221kkxx，①136272221kkxx.②由直线PQ的方程得)3(),3(2211xkyxky.于是]9)(3[)3)(3(2121221221xxxxkxxkyy.③∵0OQOP，∴02121yyxx.④由①②③④得152k，从而)36,36(55k.所以直线PQ的方程为035yx或035yx（2）证明：),3(),,3(2211yxAQyxAP.由已知得方程组.126,126,),3(3222221212121yxyxyyxx注意1，解得2152x因),(),0,2(11yxMF，故),1)3((),2(1211yxyxFM),21(),21(21yy.而),21(),2(222yyxFQ，所以FQFM.三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。