第2章--Z变换及Z传递函数

第2章Z变换及Z传递函数第2章Z变换及Z传递函数第2章Z变换及Z传递函数2.1Z变换定义与常用函数Z变换2.1.1Z变换的定义已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。对上式进行拉氏变换，则0*)()()(kkTtkTftf第2章Z变换及Z传递函数对上式进行拉氏变换，则根据广义脉冲函数的性质，可得：00***)()()()()()]([)(ktTstTsktTsdekTtkTfdekTtkTfdetftfLsF0*)()(kkTsekTfsF第2章Z变换及Z传递函数上式中，F*(s)是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新变量z=eTs，设并将F*(s)记为F(z)则式中F(z)就称为离散函数f*(t)的Z变换。0)()(kkzkTfzF第2章Z变换及Z传递函数在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数f*(t)具有相同的Z变换。即*0()()[()]()kkFzftftfkTzZZ第2章Z变换及Z传递函数求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。1．级数求和法将离散时间函数写成展开式的形式对上式取拉氏变换，得)()()2()2()()()()0()()()(0*kTtkTfTtTfTtTftfkTtkTftfkkzkTfzTfzTffsFzF)()2()()0()()(21*第2章Z变换及Z传递函数例2.1求f(t)=at/T函数（a为常数）的Z变换。解：根据Z变换定义有azazzazzazaazzkTfzFkkkk12210111)()(第2章Z变换及Z传递函数2．部分分式法设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出niiissasF1)(nitsiiezzazF1)(第2章Z变换及Z传递函数例2.2已知（a为常数）求F(Z)解：将F(s)写成部分分式之和的形式)()(assasFassassasF11)()(assaa2121011aTaTaTaTezezzeezzzzzF)1()1(1)(2第2章Z变换及Z传递函数2.1.2常用信号的Z变换)(sF)(tf)(zFkTse)(kTtkz1)(t1s1)(1t1zz21s221tt2)1(zTz31s32)1(2)1(zzzT第2章Z变换及Z传递函数2.1.2常用信号的Z变换)(sF)(tf)(zFaTsTlnTta/as1azzateaTezz22stsin1cos2sin2TzzTz22sstcos1cos2)cos(2TzzTzz第2章Z变换及Z传递函数2.2Z变换的性质和定理1．线性定理设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t)的Z变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有11221122()()()()()()aftaFzaftaftaFzaFzZZ2．滞后定理设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)，则有()()kftkTzFzZ第2章Z变换及Z传递函数3．超前定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有10()()()kkkmmftkTzFzfmTzZ4．终值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有)()1(lim)()1(lim)(111zFzzFzfzz第2章Z变换及Z传递函数5．卷积和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若定义则00()()()()()*()kkiigiTfkTiTgkTiTfiTgkTfkT()*()()()gkTfkTGzFzZ第2章Z变换及Z传递函数6．求和定理设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若有则kiiTfkTg0)()(11)()(zzFzG7．初值定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有(0)lim()zfFz第2章Z变换及Z传递函数8．位移定理设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有()()ataTfteFzeZ9．微分定理设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有[()]()zdFztftTzdZ第2章Z变换及Z传递函数2.3Z反变换所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法1()()fkTFzZ第2章Z变换及Z传递函数1．长除法设用长除法展开得：由Z变换定义得：比较两式得：则：nnnmmmazazabzbzbzF110110)(kkzczcczF110)(kzkTfzTffzF)()()0()(1,)(,,)(,)0(10kckTfcTfcf)()2()()(210*kTtcTtcTtcctfk第2章Z变换及Z传递函数2．部分分式法又称查表法，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和然后逐项查Z变换表，得到则：niiizzzazF1)(1()1,2,,iiiazfkTinzzZ01*)()()(kniikTtkTftf第2章Z变换及Z传递函数3．留数法设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换f(kT)值，可由下式计算根据柯西留数定理，上式可以表示为n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部极点的留数之和。11()()1()2kzcfkTFzFzzdjZ11()Res()inkzpifkTFzz第2章Z变换及Z传递函数即：1111Res()lim()()()lim()()iiikkizpzpnkizpiFzzzpFzzfkTzpFzz第2章Z变换及Z传递函数2.5线性定常离散系统的差分方程及其解单输入、单输出的计算机控制系统,n阶差分方程:或当k＜0时，y(k)=u(k)=0。1201()(1)(2)()()(1)()nmykaykaykayknbukbukbukm0112()[()(1)()][(1)(2)()]mnykbukbukbukmaykaykaykn第2章Z变换及Z传递函数例2.8若某二阶离散系统的差分方程为：设输入为单位阶跃序列。解：对差分方程求Z变换得()5(1)6(2)()ykykykuk1212()5()6()()11()115691421223zYzzYzzYzUzzzYzzzzzzzzzz第2章Z变换及Z传递函数取Z反变换得)23(21329242122kkkkky第2章Z变换及Z传递函数2.6Z传递函数2.6.1Z传递函数的定义设n阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取Z变换则G(z)就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。)()1()()()1()(101mkubkubkubnkyakyakymn)()()()1(11011zUzbzbbzYzazammnnnnmmzazazbzbbzUzYzG111101)()()(第2章Z变换及Z传递函数2.6.3Z传递函数的求法1．用拉氏反变换求脉冲过渡函数2．将g(t)按采样周期T离散化，得g(kT)3．应用定义求出Z传递函数，即G(z)不能由G(s)简单地令s=z代换得到。G(s)是g(t)的拉氏变换，G(z)是g(t)的Z变换。G(s)只与连续环节本身有关，G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。为了讨论方便，将上述过程简记为)()(1sGLtg0)()(kkzkTgzG()()GzGs第2章Z变换及Z传递函数例2.9已知解式中e-Ts相当于将采样延迟了T时间。根据Z变换的线性定理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递函数为11ssKsesGTs21(1)[]1TsGsKesss1121111111(1)[]111[()()](1)(1)TTTTTTzGzKzzzezKzTeeTezzez第2章Z变换及Z传递函数2.6.4开环Z传递函数1．串联环节的Z传递函数串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：—种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图2.3所示。G1(s)Y(s)TU(z)U(s)Y1(s)Y(z)图2.3串联环节间无采样开关G2(s)G(z)第2章Z变换及Z传递函数输出Y(z)与输入U(z)之间总的Z传递函数并不等于两个环节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即上式对应的Z传递函数为上式中符号是的缩写，它表示先将串联环节传递函数G1(s)与G2(s)相乘后，再求Z变换的过程。)()()()()()(21sUsGsUsGsGsY1212()()()()GzGsGsGGzZ)(21zGG12()()GsGsZ第2章Z变换及Z传递函数另一种是两个环节之间有同步采样开关存在，如图2.4所示。G1(s)TU(z)U(s)TY1(z)G2(s)Y(z)图2.4串联环节间有采样开关G(z)第2章Z变换及Z传递函数两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直接求出。串联环节总的Z传递函数为)()()()()()(1211zYzYzGzUzYzG)()()()()()()()()(2111zGzGzYzYzUzYzUzYzG第2章Z变换及Z传递函数由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的Z传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。在一般情况下，很容易证明：在进行计算时，应引起注意。)()()(2121zGzGzGG第2章Z变换及Z传递函数结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节Z传递函数之积，即如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据G(s)求G(z)。一般表示成)()()()(21zGzGzGzGn)()()()(21sGsGsGsGn1212()()()()()nnGzGsGsGsGGGzZ第2章Z变换及Z传递函数2．并联环节的Z传递函数对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图2.5所示。G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采样开关在总输入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采样开关在各个环节输入端G2(s)Y2(s)图2.5并联环节Y(