高二数学旋转变换

§1.1旋转变换教学目标:一、知识与技能：通过实例认识变换、旋转、像、列向量、线性变换、矩阵、恒等变换、中心对称变换等概念；以映射和变换的观点，认识矩阵一列向量乘法的意义，并能初步运用矩阵一列向量的乘法法则；掌握放置变换的表达式，能进行点坐标的变换运算，能将简单变换用其所对应的矩阵表示。二、方法与过程经历数学实验操作和问题探究，发现平面直角坐标系上的放置变换表达式，由特殊到一般引入线性变换的表达式。三、情感、态度与价值观通过数学实验中图形的变换，感受数学的奇异美，体会数学充满探索性；在学习活动中学会合作、学会发现知识，获得数学的解决问题的方法，使学生体验到成功的乐趣；感觉数学符号美，领会数学公式的美学意义。教学重点:旋转变换表达式的推导和应用教学难点：数学实验的分析；矩阵与列向量乘法的意义教学过程一、实验操作：观察图1-1中的图形，其中右边的图形是由左边的图形绕原点沿逆时针方向旋转030得到的。试自己摹仿画出图书馆-1中的图形。先画出左边的图形。这个图形包括：与x轴平行的直线和与y轴平行的直线，以原点为中心的圆，曲线图形。图1－1先将左边的平行直线画好，组成网格，再将圆画好再根据曲线每一部分在网格中的位置画出曲线图形。这也是实际画图的人员经常采用的方法：先画格子，再以格子为背景画出图形。右边的图形怎么画？需要将左边的图形作旋转。二、问题探究图1－1是计算机画出来的，很多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形。如果想利用计算机软件画出图1－1中的曲线图形，需要知道以下信息：曲线由两部分组成，两部的参数方程分别是：2,025sin3sin34sin5.1tttytx；2,05sin3sin52sin5tttytx对于区间2,0内每一个值t，代入参数方程就得到一点。让t取遍曲线2,0内所有的值，得到的所有的点就组成一个曲线图形，可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形。怎样将为个曲线图形旋转030？参数t的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点，需要由这个点的坐标算出它旋转后的坐标，计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的图形。三、新课讲解：设平面上建立了直角坐标如图1－2，所有的点绕原点沿逆时针方向同一个角，求点P（yx,）经过旋转之后到达的点`P（``,yx）这是研究平面上的二维向量空间，所以应设平面上建立了直角坐标系这个前提条件，根据前后图形性质的不变性，运用化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系，即找出旋转前后对应点的坐标关系：将P点人位置用向量OP和方向角来表示为sincosryrx抓住旋转前后对应点的长度r不变，方向角增加，利用三角函数的和角公式，用整体代入法寻找对图1－2应点的坐标关系为cossincossinsincos)sin(sincossinsincoscos)cos(``yxrtryyxrrrx因此cossinsincos``yxyyxx⑴平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点P到`P的对应关系。用字母T来表示这个旋转变换，为了表示点P对应`P，写成`P＝T（P），称`P是P在变换T作用下的像，并且用箭头来表示P与`P的这种关系；变换T：P`P或变换T：`PT（P）在平面上建立了直角坐标系之后，每个点P由坐标（yx,）表示，当然点`P＝T（P）也用坐标（``,yx）表示，因此，变换T也建立了这两个点的坐标之间的对应变换T：（yx,）（``,yx）在⑴式中左边的``,yx组成点`P的坐标（``,yx），可以看在向量`OP的坐标排成一列``yx的形式，称为列向量，可以利用向量记号将关系式⑴的两个等式全成一个向量等式cossinsincos``yxyxyx⑵表示左右两边向量的分量对应相等。为了叙述方便，我们有时还用一个字母表示一个列向量。比如记111yxX，222yxX，用1X＋2X表示它们的和，1X表示实数与1X的积。表达式⑵的右边的两个分量，当固定不变时，sincosyx，cossinyx都是自变量yx,的常数项为0的一次函数，它们的自变量yx,是P的坐标，可以看作OP的坐标，用列向量yx表示。将这两个一次函数的自变量yx,分离出去之后，让4个系数排成2行2列的数表cossinsincos的形式，表达式⑵就成为``yx＝cossinsincosyx⑶将⑶式右边cossinsincos中的每一行的系数与yx中的字母yx,分别对应相乘再相加，就还原成表达式⑵一般地，如果变换T：（yx,）（``,yx）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：dycxybyaxx``也就是``,yx都是yx,的常数项为0的一次函数，就将这样的变换T称作线性变换。此时可以将变换表达式写成``yx＝dcbayx⑷的形式，不同的线性变换的差别仅仅在于一次函数表达式中的4个系数a，b，c，d的不同。因此，这4个数排成的2行2列的数表dcba决定了平面上的线性变换。我们将这样由4个数排成的2行2列的数表称为2行2列的矩阵，也称为2×2矩阵，表达式⑷所描述的变换完全由矩阵dcba决定，我们称它为这个变换的矩阵。而称这个变换是由这个矩阵表示的变换。四、例题解析例1、设变换T将平面上每个点绕原点旋转2，求以下点的像：A（0,0），B（2,1），C（0，1），D（1，－2）解法一：首先要明白变换T作用下像的概念，变换T建立了两点间的坐标对应关系T：（yx,）（``,yx）再根据旋转变换公式cossinsincos``yxyyxx得到旋转变换前后对应点的坐标关系xyyx``，将点A，B，C，D的坐标分别代入可算出它们的像的坐标分别为A（0,0）A`（0,0），B（2,1）B`（－1,2）C（0，1）C`（－1，0），D（1，－2）D`（2,1）解法二：由旋转变换的表达式⑶可知：绕原点旋转的变换是线性变换，它的矩阵是cossinsincos＝0110011000＝00011012＝21011010＝01011021＝12例2矩阵1001表示什么变换？解法一：这个矩阵表示的变换T：P（yx,）`P（``,yx）满足条件``yx＝1001yx，即yyxx``于是P，`P的坐标相同，是同一点。变换T将每个点P变到自己，也就是使每个点保持不动。解法二：将矩阵A＝1001与绕原点旋转的变换矩阵cossinsincos相比较，发现矩阵A就是＝0的情形，因此A表示的变换是绕原点旋转角为0的变换，所有的点在此变换下都不支。将平面上所有的点都保持不支的变换称为恒等变换。例3、将直角坐标平面上所有的点P（yx,）变到P关于原点的中心对称点`P（``,yx），这样的变换称为中心对称变换。试求点P（yx,）的中心对称点`P的坐标（``,yx）解法一：yyxx``因此中心对称变换是线性变换，它的矩阵为1001解法二：中心对称就是绕对称中心旋转角为，由旋转矩阵为cossinsincos＝1001五、小结1、一般地，如果变换T：（yx,）（``,yx）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：dycxybyaxx``也就是``,yx都是yx,的常数项为0的一次函数，就将这样的变换T称作线性变换。此时可以将变换表达式写成``yx＝dcbayx2、平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点P到`P的对应关系P``yx＝cossinsincosyx六、课后作业：课本8页习题1，2，3，4，5教学反思：