数列的单调性

1数列的单调性(1)一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an＋1an，那么这个数列叫作递减数列．(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．(4)如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[典例]已知数列{an}的通项公式为an＝22n－9，画出它的图像，并判断增减性．[解]图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[典例]已知数列{an}的通项公式an＝nn2＋1，试判断该数列的增减性．[解]an＋1－an＝n＋1n＋12＋1－nn2＋1＝1－n2－n[n＋12＋1]n2＋1.因为n∈N＋，所以1－n2－n0，所以an＋1－an0，即an＋1an.故该数列为递减数列．应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将an＋1－an与0进行比较；(2)作商法，将an＋1an与1进行比较(在作商时，要注意an0还是an0)．题点一：求数列的最大(小)项1．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明2理由．解：法一：假设数列{an}中存在最大项．∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n·9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an.故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a9＝a10＝1010119.法二：假设数列{an}中有最大项，并设第k项为最大项，则ak≥ak－1，ak≥ak＋1对任意的k∈N＋且k≥2都成立．即k＋11011k≥k1011k－1，k＋11011k≥k＋21011k＋1，∴1011k＋1≥k，k＋1≥1011k＋2，解得9≤k≤10.又k∈N＋，∴数列{an}中存在最大项是第9项和第10项，且a9＝a10＝1010119.题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{an}的通项公式为：an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围.解：法一：∵数列{an}是单调递增数列，∴an＋1－an0(n∈N＋)恒成立．又∵an＝n2＋kn(n∈N＋)，∴(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)0恒成立．即2n＋1＋k0.∴k－(2n＋1)(n∈N＋)恒成立．而n∈N＋时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，∴k－3.即k的取值范围为(－3，＋∞)．3法二：结合二次函数y＝x2＋kx的图像，要使{an}是递增数列，只要a1a2即可，即1＋k4＋2k，得k－3，所以k的取值范围为(－3，＋∞)．题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明数列{an}是递减数列．解：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，∴an－1an＝－2n，∴a2n＋2nan－1＝0，解得an＝－n±n2＋1.∵an0，∴an＝n2＋1－n，n∈N＋.(2)证明：an＋1an＝n＋12＋1－n＋1n2＋1－n＝n2＋1＋nn＋12＋1＋n＋11.∵an0，∴an＋1an，∴数列{an}是递减数列．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an与an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．10．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为an＝n2－21n＋20＝n－2122－3614，可知对称轴方程为n＝212＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{an}有：a1a2…a10＝a11a12…，故数列{an}没有最大项．