09第九章-离散傅立叶变换

1第九章离散傅立叶变换(DFT)•问题：如何将数字计算机应用于傅立叶分析答案：通过“离散傅立叶变换（DFT)”•目的：将数字计算机应用于傅立叶分析2dfefXtxdtetxfXtfjtfj22)()()(2连续非周期信号－连续非周期频谱9.1四种物理存在的傅立叶变换1连续周期信号－离散非周期频谱112111()jkftTXkfxtedtT121()()jkftkxtXkfe3nnfTjssenTxfX2)()(3离散非周期序列－周期连续频谱ssfnfTjssdfefXfnTx2)(14离散周期序列－周期离散频谱10211)()(NnfnkTjssenTxkfX1021)(1NknfTjssekfXNnTx4对称关系时域周期—频域离散性（时域重复—频域抽样）时域离散—频域周期（时域抽样—频域重复）时域非周期—频域连续（频域取包络）时域连续—频域非周期（对偶性）59.2离散傅立叶级数(DFS)连续周期信号有傅立叶级数，记作：1212()1()TTjntpnnjntnpxtFeFxtedtT61()(),spptnTsxnxtNTT令：其中：21()NsjknjknTpkkkkxnXeXe1()jntpnnxtFe22211n0nmkm0()NNNkkjnjnjnNpNxeeneX21nmk0NNnkkjeX721kn0k()(k)NNjnppxneNXX22k1mnm1n00()NNkjjnNNnpkXxnee21nmk0mmk0kNjnNNe2m1nk0NnNje因为是周期为N的周期序列8221010()()1()()NNNjknppnNjknppkXkxnexnXkeNnjNe)(2)(kXp)()()(22NknjnkjNNeenkjNe)(2)(kXp，是周期的谐波成分中只有N个是独立的是K次谐波分量，谐波系数是周期序列的基频是得到DFS正负运算对21kn0k()(k)NNjnppxneNXX9)(nxpnN0N2N)(kXp0NkN10221010()()1()()NNNjknppnNjknppkXkxnexnXkeN特点1时域频域离散2时域频域周期11()pxn9.3离散傅立叶变换(DFT)上一节讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。周期序列是有限长序列的周期延拓。()01()0pxnnNxnn其他()()prxnxnrN12通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”，故x(n)是的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成()pxn()pxn()pxn()(mod)(())pNxnxnNxn(())Nn——余数运算表达式（n对N取模值）mNnn10≤n1≤N-1,m为整数令则n1为n对N的余数。13是周期为N=9的序列，则有：()pxn例：9999(8)((8))(8)(13)((13))(4)(22)((22))(4)(1)((1))(8)ppppxxxxxxxxxxxx()pxn10913n14•周期序列则是有限长序列以N为周期的周期延拓Npnxnx))(()(•有限长序列x(n)可看成是周期序列的主值序列，记作)()()(nGnxnxNpNpkXkX))(()()()()(kGkXkXNp)(kXp•也是周期性的，相当于有限长序列周期延拓•当时，其主值序列相当于一个有限长序列10Nk15221100110000,,1,2...1,2...()()()11()()()11NNNNjknnknnNNjnknkkkXkxnexnWxnXkkeXkWNNNnN和都取主值周期，得到离散傅立叶变换(DFT)对)(kXP)(nxP16)(nxpnN0N2NN0n)(nxN0k)(kXDFSDFT)(kXp02NN2Nk172211001100()()()(01)11()()()(01)NNNNjknnknnNNjnknkkkXkxnexnWkNxnXkeXkWnNNN221010()()1()()NNNjknppnNjknppkXkxnexnXkeN从DFS到DFT定义DFSDFT的定义NpkXkX))(()()()()(kGkXkXNpNpnxnx))(()()()()(nGnxnxNp18小结•是的主值序列－有限长序列•是严格按傅立叶分析的概念得来的•只是一种借用形式，一种算法•用计算信号的频谱时:–采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率–对周期信号要取一个整周期DFTDFSDFSDFTDFTDFT19§9.4离散傅立叶变换(DFT)的性质一线性二时域圆周移位特性[()](),()(())()NNDFTxnXkynxnmRn[()][(())()]()NNmkDFTynDFTxnmRnWXk)()()]()([2121kbXkaXnbxnaxDFT式中，a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。201.圆周移位一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为y(n)=x((n-m))NRN(n)我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列;再将加以移位：()(())pNxnxn()pxn(())()Npxnmxnm然后，再对移位的周期序列取主值区间（n=0到N-1）上的序列值，即x((n-m))NRN(n)。y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。()pxnm21圆周移位过程示意图(e)x(n)21n＝0N－1N－2on＝0N－1N－221n＝0N－2N－1(f)(g)210x(n)n0n)(~nxNnxnx))2(()2(~0n)())2((nRnxNN0N－1n(a)(b)(c)(d)N－1N－1N－122从图上可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察0≤n≤N-1这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位，就相当于x(n)在此圆周上旋转，如图（e）、（f）、(g)所示，因而称为圆周移位。若将x(n)向左圆周移位时，此圆是顺时针旋转;将x(n)向右圆周移位时，此圆是逆时针旋转。此外，如果围绕圆周观察几圈，那么看到的就是周期序列。()pxn23三频移特性——调制定理四时域圆周卷积特性10()()()(())()NNNmxnhnxmhnmRn*10()(())()NNNmhmxnmRn1圆卷积)]([)(nxDFTkX则)()()]())(([2nxenxWkRlkXIDFTnlNjnlNNN若24x1(n)1N－1nx2(n)1N－1nx2((0－m))NRN(m)1N－1mooox2((1－m))NRN(m)1N－1mx2((2－m))NRN(m)1N－1my(n)＝x1(n)x2(n)233211N－1noooN圆周卷积过程示意图2圆卷积的计算：3圆卷积与线卷积的区别与联系：长度、结果、混叠现象x1(n)n1N1＝41230x2(n)n112340N2＝5y1(n)N1＋N2－1＝8n123405678910－11234(a)(b)(c)x1(n)x2(n)L＝6n12340x1(n)x2(n)L＝8n1234x1(n)x2(n)L＝10n1234(d)(e)(f)12345012345670123456789LLL264时域圆周卷积特性内容()()()ynxnhn*[()][()][()]()()()DFTynDFTxnDFThnXkHkYk27作业•9-119-12（思考）