§6.2正则-正规-T3-T4空间

§6.2正则，正规，T3,T4空间定义6.2.1设X是一个拓扑空间，.若，则称U是集合A的一个邻域.特别的，若U还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域.,AUXAU换言之继续也可以换一个说法若存在一个开集V满足:则称U是A的一个邻域.AVU定义6.2.2设X是一个拓扑空间，若X中的任何一个点x和任何一个不包含x的闭集A都各有一个开邻域U,V，使得，则称X是一个.UVxAUVUV定理6.2.1是一个拓扑空间,则是一个正则空间当且仅当对于任何点和的任意一个邻域U,存在一个的开邻域V使得:VUxXxxXX证明:必要性设X是一个正则空间,U是x的任何一个开邻域,则是不包含x的闭集,从而x和分别有开邻域和使得,从而,所以.UUV1V1VV1VV11VVVU图示继续xUUV1V充分性对任意的x∈X和不包含x的任意闭集A,则是x的一个开邻域,故有x的开邻域U使得,令,则有,所以V是A的一个开邻域,并且有,这说明X是一个正则空间.AUA'VUAVUV图继续xAAUUAUAU定义6.2.3设X是一个拓扑空间,若X中任意两个互不相交的闭集A、B都各有一个开邻域U、V，满足则称拓扑空间X是一个正规空间.UVABUVUV定理6.2.2设X是一个拓扑空间.则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V，使得.AXVU正则且正规的空间但非T0,T1,T2空间的例子设X＝{1,2,3},T{,,{1},{2,3}}XT2空间但非正则、非正规空间的例子记T为实数空间的通常拓扑设,则T1是R的一个拓扑1{}nKnZ1{,}GEGEKT=T继续继续•(R,T1)是一个Hausdorff空间;•(R,T1)不是一个正则空间;•(R,T1)不是一个正规空间;继续证明(1)K是T1中的闭集;(2)0和K在T1中没有互不相交的开邻域,因而(R,T1)不是正则空间;(3){0}也是T1中的闭集,由(2)知(R,T1)也不是正规空间返回{1,2,3},,{1},{2},{1,2},}T={XX易知它是正规空间；但它不是正则空间，这是因为在拓扑空间中1和｛2，3｝，没有它们各自的开邻域互不相交.定义6.2.4正则的T1空间称为T3空间,正规的T1空间称为T4空间.注:定理6.2.3每一个度量空间都是T4空间.43210TTTTT证明:易知度量空间是Hausdorff空间，因而是T1空间，下面只需证明它是正规空间.令则有，从而度量空间是正规空间,因而是T4空间.见下图(,())xAUBxx(,())yBVByyUV继续证明继续xy(,())Bxx12()(,)xdxB(,())Byy12()(,)ydyAAB作业：1,2,6返回