报童卖报问题

报童卖报问题摘要：这个问题解决的是报刊亭购进报纸数量。通过分析上月报纸的销售量得出上月的平均期望x=243.3，方差S=13，最后通过计算分析得出，当报纸数量n=248时，利润)(nG=99.5最大。正文：一．问题的重述设某报刊亭报纸的购进价为0.6元，售出价为1元，退回价为0.4元，问该报亭每天应购进几份报纸，才能使收益最大？并求出最大收益。二．符号的约定b购进价格a零售价格c退回价格n报纸数量S方差x平均期望)(nG利润函数)(rp概率密度函数三.模型的基本假设假设外界环境不变.假设这个月卖报量服从上个月分布,并服从正态分布.假设-到0的概率为0.四．模型的建立与求解根据上面的符号约定，显然有cba。设报童每天购进n份报纸，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n；并由分析计算可知，上月报童卖报的平均期望x=243.3，方差S=13。记报童每天购进n份报纸时平均收入为)(nG，考虑到需求量为r的概率是)(rf，所以10)()()()])(()[(nGnrnrrnfbaxfrncbrba）（(4.2-1)问题归结为在)(rf.a.b.c已知时，求n使)(nG最大。通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时)(rf转化为概率密度函数)(rp，这样(4.2-1)式变为：10)()()()])(()[(nGnrnrrnpbaxprncbrba）（(4.2-2)计算nrnPbadrrPcbnnPbadndG0)()()()()()(ndrrPba)()(nndrrPbadrrPcb0)()()()(，令0dndG得：cbbadrrPdrrPnn)()(0(4.2-3)使报童日平均收入达到最大购进量n应满足(4.2-3)，因为01)(drrP所以(4.2-3)式可变为cbbadrrPdrrPnn00)(1)(即有ncabadrrP0)((4.2-4)根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进图4.3在图中，用21,PP分别表示曲线)(rP下的两块面积，则(4.2-3)式又可记作：cbbapp21所以(4.2-3)式表明：购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a－b与退回一份赔的钱b－c之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。我们假设上面的问题中报童的需求量服从均值243.3份均方差13份的正态分布按照上面的模型，根据(4.2-4)式，因为a－b＝0.4,b－c＝0.6,pp21=32,r～N(),2,其中μ＝243.3,σ＝13查表可得n＝μ＋0.37σ＝248.1利润函数：nn0)()()()])(()[()(drrnpbadrrprncbrbanGnncanbae)])([()(2c-a-222)n(）（将n=248代入)(nG，得：)(nG248)]248)([(248)(2c-a-222)248(caba）（=99.5将n=249代入)(nG,得：)(nG249)]249)([(249)(2c-a-222)249(caba）（=98.1比较可知，当n=248时，报童卖报的利润可达到最大值。五．参考资料1。《数学模型第二版》，姜启源，高等教育出版社，19992。《数学建模案例》，姜启源，谢金星，高等教育出版社,2003附录1：该报亭某月在购进量充足情况下的报纸售出量（单位：份）234,252,245,262,214,219,258,224,227,236,241,235,240,254,248,245,260,243,250,256,239,231,235,264,265,248,229,256,238,243.附录2:nn0)()()()])(()[()(drrnpbadrrprncbrbanGn)()()]()()()[(ndrrnpbadrrnpcbrrfcan-)]())()(()())([(drrpcancbrprcandrrpn)(b-a）（22()21()()2rnacredrndrrpcancan)(])()[(b-a）（22()222()()[]22rnacred()[()()]()nabnacnac22()2()2nrace()[()()]()nabnacnacnncanbae)])([()(2c-a-222)n(）（