第十六章-相对论基础习题解

174第十六章相对论基础16–1狭义相对性原理与经典相对性质原理不同之处在于。解：经典相对性原理仅限于对力学规律而言，一切惯性系都是等价的，而狭义相对性原理则指出，对于所有物理规律（不仅仅是力学），一切惯性系都是等价的。16–2一辆静长为5m的小车通过一个静长为4m的车库。由于洛伦兹收缩，当小车通过车库时，在相对于车库静止的参考系看来，小车的长度为3m。在车库的两端有两个门，当小车前端到达车前时会自动打开，小车后端通过时会自动关闭，打开或关闭每个门所花的时间忽略不计。则在相对于车库静止的参考系看来，小车通过车库时的速度为。在运动的小车上看，车库的长度为。解：已知m3l，m50l。由220/1cull，可得车通过车库时的速度为cu8.0同样，在小车上看来，车库相对于小车的速度为cu8.0。车库的固有长度为m40l，同样利用公式220/1cull，可计算出在运动的小车上看来，车库的长度为m4.2)8.0(142l。16–3一个人在火箭中生活了50年，生和死时分别向地面发出信号，若u=0.9998c，则地面上的人测到他活了年。解：地面上的人测到他活的年数为25009998.015012222cccut年16–4一艘以0.9c的速率离开地球的宇宙飞船，以相对于自己0.9c的速率向前发射一枚导弹，则该导弹相对于地球的速率为。解：由选地球为静止参考系，宇宙飞船为运动参考系。由21cuuxxxvvv已知宇宙飞船相对于地球的cu9.0，导弹相对于宇宙飞船的速度cx9.0v，代入上式，得该导弹相对于地球的速率为cx994.0v16–5一个K+介子的静止质量为494MeV/c2，而一个质子的静止质量为938MeV/c2。如果K+介子的总能量等于质子的静能，则K+介子的速度为。解：由相对论质量速度公式220/1cmmv得cccmm85.093849411220v16–6迈克耳逊—莫雷利用干涉仪，试图用光学方法测定[]。175A．地球的相对运动B．地球的绝对运动C．太阳的相对运动D．太阳的绝对运动。解：测地球相对于“以太”的速度，即地球的绝对运动。故应选（B）。16–7一尺子沿长度方向运动，系随尺子一起运动，系静止，在不同参照系中测量尺子的长度时必须注意[]。A．与中的观察者可以不同时地去测量尺子两端的坐标B．中的观察者可以不同时，但中的观察者必须同时去测量尺子两端的坐标C．中的观察者必须同时，但中的观察者可以不同时去测量尺子两端的坐标D．与中的观察者都必须同时去测量尺子两端的坐标解：在测量一个相对于参考系静止的物体的长度时，可以先测出物体一端的坐标，再测出另一端的坐标，这不会影响测量的结果。但在静止的参考系中测量运动参考系中物体的长度时，则必须同时记录下物体两端的坐标，两坐标相减得到物体的长度。因此应选（B）。16–8有两只对准的钟，一只留在地面上，另一只带到以速率v作匀速直线飞行的飞船上，则下列说法正确的是[]。A．飞船上人看到自己的钟比地面上的钟慢B．地面上人看到自己的钟比飞船上的钟慢C．飞船上人觉得自己的钟比原来慢了D．地面上人看到自己的钟比飞船上的钟快解：运动时钟变慢。故选（D）16–9一个电子的速度为v。下面各图是电子的动能T与v/c图像。则下图中哪一个是正确的？[]解：由相对论质量变换公式220/1cmmv和质能关系2mcEtotal得动能为1/112220ccmEETstotalv当v时，1cv，而电子的静质量显然不为0，所以动能T。故选（D）。16–10宇宙飞船相对地球以0.8c的速度匀速直线飞行，一光脉冲从船尾传到船头。若飞船上的观察者测得飞船长为90m，则地球上的观察者测得光脉冲从船尾出发到船头这两事TOv/c1.0ABTOv/c1.0CTOv/c1.0DTOv/c1.0176件的空间间隔为多少？时间间隔为多少？解：在宇宙飞船参考系中，光的速度为c，飞船上的观察者测得飞船长为90m，所以宇宙飞船上测得光脉冲从船尾到船头这两事件的时间间隔为s10310390''7812tt。地球上的观察者测得光脉冲从船尾出发到船头这两事件的空间间隔为s109)8.0(1901038.0103/1)()''(7287221221212cuxxcuttttt地球上的观察者测得光脉冲从船尾出发到船头这两事件的时间间隔为m270)8.0(11031038.090/1)(27822121212cuttuxxxxx16–11跨栏选手刘翔，在地球上以12.88s时间跑完110m栏，在飞行速度为0.98c的飞船中观察者观察，试求（1）刘翔跑了多少时间，（2）刘翔跑了多长距离？解:（1）以地球为系，飞船为。已知：s88.12't，110x，cu98.0。飞船中观察者观察，刘翔跑的时间为s72.64)98.0(111010398.088.12/1'28222cuxcutt（2）飞船中观察者观察，刘翔跑的距离为m1090.1)98.0(188.1210398.0110/1102822cutuxx16–12一艘宇宙飞船的船身固有长度为L0=90m，相对于地面以u0.8c（c为真空中光速)的匀速度在地面观测站的上空飞过。（1）观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔是多少？解：（1）观察站测得船身的长度为m54)8.0(190)/(1220cuLL则通过观察站的时间间隔为s1025.21038.05478uLt（2）宇航员测得船身通过观测站的时间间隔为s1075.31038.090780uLt16–13夫妻同龄，30岁时生一子。儿子出生时丈夫要乘坐速率为0.86c的飞船去半人马座星，并且立即返回。已知地球到半人马座星的距离是3.4光年，并假设飞船一去一回都相对地球作匀速直线运动。问当丈夫返回地球时，妻子、儿子和丈夫各是多大年龄？解：妻子和儿子在地球上看丈夫往返一次所需要的时间为1086.03.42cct年在运动的飞船中的丈夫看来，从地球到半人马座星往返一次的距离缩短了，即1774.4)86.0(13.42)/(13.4222ccucL光年在地球上的观察者从相对论的观点认为，飞船中的时钟由于运动而变慢了，往返一次飞船中的时钟指示的时间为年年1.551.010)/(12cutt所以当丈夫返回到地球时，妻子40岁，儿子10岁，丈夫35.1岁。16–14封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出。车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图16–1所示。某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点。在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（Rr）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直。板的圆心O2、S、、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上。由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况。不考虑光的衍射。试求：（1）车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。（2）地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。解：（1）相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动。由光源S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大。若距光源S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图16–2所示，则有LRlr可得rRlL（1）设想车厢足够长，并设想在车厢前端距光源S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出。当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住。此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L。初始时，在车厢参考系中，挡板离光源的距离为2(1)v/cxA（2）故出现挡板完全遮住光束的时刻为v)vL/cxtA2(1（3）由（1）式和（3）式得图16–1vSrO1O2RxAxlOrRlLS图16–2178vv)vrRl/cxtA2(1（2）相对于地面参考系，光源和车厢以速度v向挡板运动。光源与孔之间的距离缩短为2(1')v/cll而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到光源S的距离即挡板完全遮光时距离应为2(1)v/crRlrRl'L'初始时，挡板离光源S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为2(1)vvvv/crRlxL'xtAA16–15以0.80c的速率相当于地球飞行的火箭，向正前方发射一束光子，试分别按照经典理论和狭义相对论计算相当于地球的运动速率。解：按照经典理论，光子相当于地球的运动速率为cccu8.18.0vv按照狭义相对论，光子相当于地球的运动速率为cccccccuu8.18.1/8.018.0/1222vvv16–16在地面上有一铁轨长1000米，一列车从起点到终点用了50秒，现从以c.60的速率沿铁轨方向向前匀速飞行的飞船中观察。问：（1）铁轨有多长？（2）求列车的行驶距离和所用时间？（3）列车的平均速率？解：（1）设铁轨所在的系为系，飞船所在的系为系，设飞船沿x正方向运动，如图16–3所示。则从飞船上看，轨所在的系沿x负方向运动，其速度为c.60。在飞船中观察铁轨长为m800)6.0(11000)/(1220cull（2）列车在起点处为第一事件，在终点处为第二事件，在系中测得两事件发生的空间间隔为m1000x，时间间隔为s50t。在飞船（系）中观察两事件的空间间隔，即列车的行驶距离为m10125.1)6.0(1501036.01000/1102822cutuxx在飞船（系）中观察列车行驶所用时间为s5.62)6.0(110001036.050/128222cuxcutt（3）在飞船（系）中观察，列车的平均速率为m/s108.18txv或者先求列车在系中平均速率为∑′∑OO′uxx′图16–3179m/s20501000txv再由洛伦兹速度变换，得在飞船（系）中观察列车的平均速率为m/s108.1)103/(206.011036.020/18882cuuvvv16–17一个电子具有5倍于它的静止能量的总能量。求它的动量和速率。解：电子的静止能量为MeV511.020cm根据动量和能量之间的关系，有22022022020222)(24)()5(cmcmcmEEcpMeV50.2MeV511.090.42420cmpcm/skg1033.11000.31060.11050.2MeV50.2278196cp由质能关系式，有2220220(15)v/ccmmccmE整理，得m/s1094.25248cv16–18一个静止的、质量为M1为0粒子，在实验室坐标系中衰变成一个质量M2的0粒子和一个质量为零的光子。试计算0粒子的总能量。解：设光子的动量为1p，则光子的能量为cp1。0粒子的动量为2p，则能量为222422cpcM。利用核反应前后的动量-能量守恒关系，得222422121210cpcMcpcMpp解得cMMMp1222122从而21222122242222cMMMcpcME