清华大学2013级微积分B(2)第二学期期末试题及参考答案

微积分微积分微积分微积分BBBB（（（（2222）试题）试题）试题）试题一、填空题（每题一、填空题（每题一、填空题（每题一、填空题（每题4分，共分，共分，共分，共10题，题，题，题，计计计计40分）分）分）分）1．设arctanxzy=，则(0,1)zx∂=∂，2(0,1)zyx∂=∂∂．答案：1，1−2．曲面222236xyz++=在点(1,1,1)处的切平面方程为．答案：236xyz++=3．微分方程1exyyxx′−=的通解为y=．答案：(e)xxC+4．设曲线段L是曲线yx=上从点(1,1)到点(4,2)的部分，则dLyl=∫．答案：33221(175)12−5．函数22(,)fxyxxyy=−+在点(1,1)处的方向导数的最大值为．答案：26．二阶欧拉方程223xyxy′′′−=在区间(0,)+∞上的通解为y=．答案：312lnyCCxx=+−7．微分方程(lnln)0xyyxy′+−=满足条件3(1)ey=的解为y=．答案：21exx+8．设22(,,)(4)3(2)xyzxyxyxzz=+−+++ijkF，则div(1,0,1)−=F，rot(1,0,1)−=F．答案：5，2−jk9．设Σ是单位球面2221xyz++=，则曲面积分2()dxyzSΣ++=∫∫．答案：4π310．设L是柱面221xy+=与平面0yz+=的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分ddLzxyz+=∫．答案：π二、解答题（共二、解答题（共二、解答题（共二、解答题（共5555题，题，题，题，每题每题每题每题12121212分，分，分，分，计计计计66660000分）分）分）分）11．求函数(,,)2fxyzxyyz=+在约束条件22210xyz++=下的最大值和最小值．解设222(,,,)2(10)Fxyzxyyzxyzλλ=++++−．令22220,220,220,100,xyzFyxFxzyFyzFxyzλλλλ′=+=′=++=′=+=′=++−=得可能的最值点(1,5,2),(1,5,2)AB−−，(1,5,2),(1,5,2)CD−−−−，(22,0,2),(22,0,2)EF−−．因为在,AD两点处55f=；在,BC两点处55f=−；在,EF两点处0f=，所以(,,)2fxyzxyyz=+在约束条件22210xyz++=下的最大值和最小值分别是55和55−．12．已知平面区域22{(,)(1)1}Dxyxy=−+≤，计算二重积分22(3)ddDIxyxy=−∫∫．解π2cos2222222π02(3)ddd(cos3sin)dDIxyxyrrrrθθθθ−=−=−∫∫∫∫π2242π24(cos3sin)cosdθθθθ−=−∫π642π24(4cos3cos)dθθθ−=−∫π64208(4cos3cos)dθθθ=−∫531π31π8(43)6422422=××××−×××π2=．13．求微分方程322exyyyx′′′−+=的通解．解对应齐次方程320yyy′′′−+=的两个特征根为121,2λλ==，其通解为212eexxYCC=+．设原方程的特解形式为*()exyxaxb=+，则2*[(2)]exyaxabxb′=+++，2*[(4)22]exyaxabxab′′=++++，代入原方程解得1,2ab=−=−，故所求通解为212ee(2)exxxyCCxx=+−+．14．已知有向曲线L的方程为212yx=，起点是(0,0)、终点是(2,2)，计算第二型曲线积分2222ln(1)dln(1)dLIxxyxyxyy=+++++∫．解记22(,)ln(1)Pxyxxy=++，22(,)ln(1)Qxyyxy=++，则12(,),(,)()PxyQxyC∈R，且22(,)2(,)1QxyxyPxyxxyy∂∂==∂++∂，所以曲线积分2222ln(1)dln(1)dLIxxyxyxyy=+++++∫与路径无关．所以2222ln(1)dln(1)dLIxxyxyxyy=+++++∫22222200ln(01)dln(21)dxxxyyy=+++++∫∫222222220011[(1)ln(1)(1)][(5)ln(5)(5)]22xxxyyy=++−++++−+11(5ln54)(9ln95ln54)22=−+−−9ln34=−．解法解法解法解法2：：：：2222ln(1)dln(1)dLIxxyxyxyy=+++++∫4242220[ln(1)ln(1)]d424xxxxxxxx⋅=+++++∫4422201(1)ln(1)d244xxxxx′=++++∫244422201[(1)ln(1)(1)]2444xxxxxx=++++−++9ln34=−。15．设Σ为曲面22(1)zxyz=+≤的下侧，计算曲面积分33(1)dd(1)dd(1)ddIxyzyzxzxyΣ=−∧+−∧+−∧∫∫．解设1Σ为平面1z=上被221,1xyz+==所围部分的上侧，1Σ与Σ所围成的空间区域记为Ω．则113333(1)dd(1)dd(1)dd(1)dd(1)dd(1)ddIxyzyzxzxyxyzyzxzxyΣΣΣ+=−+−+−−−+−+−∫∫∫∫

．因为133(1)dd(1)dd(1)ddxyzyzxzxyΣΣ+−+−+−∫∫
22[3(1)3(1)1]dddxyxyzΩ=−+−+∫∫∫．22(337)dddxyxyzΩ=++∫∫∫．22π11200dd(37)drrrrzθ=+∫∫∫12202π(1)(37)drrrr=−+∫4π=，133(1)dd(1)dd(1)dd0xyzyzxzxyΣ−+−+−=∫∫，所以4πI=．解法2：33(1)dd(1)dd(1)ddIxyzyzxzxyΣ=−∧+−∧+−∧∫∫3322[(1)(2)(1)(2)(1)]ddDxxyyxyxy=−−−+−−++−∫∫432432[265226521]ddDxxxxyyyyxy=−+−+−+−+∫∫4242[25251]ddDxxyyxy=++++∫∫2π1444200d[2(cossin)51]drrrrθθθ=+++∫∫2π44017[(cossin)]d34θθθ=++∫π4207π8sind23θθ=+∫7π831π4π23422=+×××=。三、附加题（三、附加题（三、附加题（三、附加题（5555分）分）分）分）证明：若函数(,)fxy在点(,)ab的某个邻域内有定义，且(,)fxyx∂∂在点(,)ab处连续，(,)fxyy∂∂在点(,)ab处存在，则(,)fxy在点(,)ab处可微．证因为(,)(,)(,)fabfaxbyfab∆=+∆+∆−[][](,)(,)(,)(,)faxbyfabyfabyfab=+∆+∆−+∆++∆−(,)(,)(1)xyfaxbyxfabyoyα=+∆+∆∆+∆+∆[(,)(1)](,)()xyfaboxfabyoy=+∆+∆+∆(,)(,)(1)()xyfabxfabyoxoy=∆+∆+∆+∆22(,)(,)()()xyfabxfabyoxy=∆+∆+∆+∆，所以(,)fxy在点(,)ab处可微．