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1期末复习要点总结数值分析22第一章误差第一章误差一.误差的来源:1.模型误差2.观测误差3.截断误差4.舍入误差二.绝对误差、相对误差和有效数字33为准确值x的一个近似值,称*x**)(xxxe*x绝对误差、相对误差和有效数字若**)(xxxe*x的绝对误差限,简称误差限.通常称为近似值定义2设*x)(*xerxxxxxexer***(1-3)记为即准确值之比为近似值*x为近似值的绝对误差,简称误差.(1-1)称绝对误差与为准确值x的近似值,的相对误差,(1-2)定义1设4由于在计算过程中准确值x总是未知的,*****xxxxxexer绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为则称为的相对误差限.rrrxxexe***r*x使得(1-4)如果存在正数5如果近似值*xn1021*x准确到小数点后第n位,并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字有效数字的误差限是则称*..x14144142136.1*x取前八位数得近似值例如,.,x21414213562取前四位数得.,31214141021.414有4位有效数字..712141421361021.4142136有8位有效数字.66*xmnaaax10.021*(1-5),2,1,01iaai一般地,如果近似值其中m为整数,绝对误差、相对误差和有效数字为0到9之间的整数.nmxx1021*如果(1-6)则称近似值*x有n位有效数字.*...x114140141410例如.3141121414101022有4位有效数字.故*.x1414的规格化形式为77绝对误差、相对误差和有效数字若x的近似值,10.021*mnaaax111021na至少具有n位有效数字.*xr1110121nra*x)0(1a有n位有效数字,则误差限.反之,的相对误差定理1.1为其相对满足若则9例设近似数1.557a31()102ea()()reaeaa是某真值x经四舍五入所得,试求其绝对误差限和相对误差限.解由于a经四舍五入得到,故311021.57743.1705771091111数值计算中误差的传播例2:要使6的近似值的相对误差限小于0.1%,应取取几位有效数字解:263,6的首位数是2,12a设近似数*x有n位有效数字,只须取n使111100.1%2na即11100.1%22n1100.4%,n取n=4,即取4位有效数字,近似值的相对误差限小于0.1%.1010,0.4%n10lg3.39790.4%n12数值计算中的一些原则1.避免两个相近的数相减2.避免大数“吃”小数的现象3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4.要简化计算,减少运算次数,提高效率5.要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播例如为提高数值计算精度,当正数x充分大时,应将2121xx(2121)(2121)2121xxxxxx22121xx改写为22121xx1214第二章插值已知函数y=f(x)在[a,b]上有定义,且已经测得在点ax0x1···xnb处的函数值为y0=f(x0),…,yn=f(xn)如果存在一个简单易算的函数P(x),使得P(xi)=f(xi),i=1,2,...,n则称P(x)为f(x)的插值函数插值区间插值节点求插值函数P(x)的方法就称为插值法插值节点无需递增排列,但必须确保互不相同!插值条件15基函数法通过基函数来构造插值多项式的方法就称为基函数插值法Zn(x)={次数不超过n的多项式的全体}记n+1维线性空间设z0(x),z1(x),...,zn(x)构成Zn(x)的一组基,则插值多项式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)+···+anzn(x)①寻找合适的基函数②确定插值多项式在这组基下的表示系数基函数法基本步骤16Lagrange插值Lagrange插值基函数设lk(x)是n次多项式,在插值节点x0,x1,…,xn上满足1,()0,kjjklxjk则称lk(x)为节点x0,x1,…,xn上的拉格朗日插值基函数17线性与抛物线插值两种特殊情形n=10110011010110()()()xxxxLxylxylxyyxxxx线性插值多项式(一次插值多项式)n=2020112012010210122021()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyxxxxxxxxxxxx抛物线插值多项式(二次插值多项式)2()Lx18例:已知函数y=lnx的函数值如下解:x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试分别用线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值线性插值:取x0=0.5,x1=0.6得将x=0.54代入可得:011010110()0.18231.6046xxxxLxyyxxxxxln0.54L1(0.54)=-0.6202为了减小截断误差,通常选取插值点x邻接的插值节点19抛物线插值:取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153ln0.54的精确值为:-0.616186···可见,抛物线插值的精度比线性插值要高Lagrange插值多项式简单方便,只要取定节点就可写出基函数,进而得到插值多项式,易于计算机实现。20Lagrange插值l0(x),l1(x),…,ln(x)构成Zn(x)的一组基性质注意l0(x),l1(x),…,ln(x)与插值节点有关,但与函数f(x)无关lk(x)的表达式0110111,()()()()()()()()()kknkkkknjjjkkknjkkxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxxx由构造法可得21误差估计如何估计误差)()()(xLxfxRnn插值余项定理设f(x)Cn[a,b](n阶连续可微),且f(n+1)(x)在(a,b)内存在,则对x[a,b],有(1)1()()()()()(1)!nxnnnfRxfxLxxn其中x(a,b)且与x有关,101()()()()nnxxxxxxx22插值余项余项公式只有当f(x)的高阶导数存在时才能使用几点说明计算插值点x上的近似值时,应选取与x相近插值节点10()(1)!nnniiMRxxxn如果,则(1)1()nnfxMx与x有关,通常无法确定,实际使用中通常是估计其上界23插值误差举例例:已知函数y=lnx的函数值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231试估计线性插值和抛物线插值计算ln0.54的误差解线性插值(2)2()4f(2)101()()()()2fRxxxxx1(0.54)2(0.540.5)(0.540.6)0.0048Rx0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)24Newton插值为什么Newton插值Lagrange插值简单易用,但若要增加一个节点时,全部基函数lk(x)都需重新计算,不太方便。设计一个可以逐次生成插值多项式的算法,即n次插值多项式可以通过n-1次插值多项式生成——Newton插值法解决办法25什么是差商设函数f(x),节点x0,…,xn()()[,]jiijjifxfxfxxxxf(x)关于点xi,xj的一阶差商[,][,][,,]jkijijkkifxxfxxfxxxxxf(x)关于点xi,xj,xk的二阶差商101010[,,][,,][,,,]kkkkfxxfxxfxxxxxk阶差商差商的一般定义26差商的性质k阶差商与k阶导数之间的关系:若f(x)在[a,b]上具有k阶导数,则至少存在一点(a,b),使得()01()[,,,]!kkffxxxk27如何巧妙地计算差商差商表xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商…n阶差商x0x1x2x3xnƒ(x0)ƒ(x1)ƒ(x2)ƒ(x3)ƒ(xn)ƒ[x0,x1]ƒ[x1,x2]ƒ[x2,x3]ƒ[xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2]ƒ[x1,x2,x3]ƒ[xn-2,xn-1,xn]ƒ[x0,x1,x2,x3]ƒ[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……ƒ[x0,x1,…,xn]28差商举例例:已知y=(x)的函数值表,试计算其各阶差商i0123xi-2-112f(xi)531721解:差商表如下xiƒ(xi)一阶差商二阶差商三阶差商-2-112531721-2743-1-129Newton插值公式f(x)=Nn(x)+Rn(x)10102011()()()()()nniinaaxxaxxxxaxNxx001[,,...,]()...()(())nnnnfxxxxRxxxxxxNn(x)是n次多项式Nn(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n重要性质Nn(x)是f(x)的n次插值多项式nixxfaxfaii,,2,1],,,[),(000其中30Newton/LagrangeNewton插值多项式与Lagrange插值多项式f(x)在x0,x1,…,xn上的n次插值多项式是唯一的!Nn(x)Ln(x)余项也相同(1)000()[]()()(1)!nnnxniiiifξfx,x,...,xxxxxn(1)0()[](1)!nxnfξfx,x,...,xn!)(][)(0kfx,...,xfkk将x看作节点31插值举例例:已知函数y=lnx的函数值如下解:取节点0.5,0.6,0.4作差商表试分别用牛顿线性插值和抛物线插值计算ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xiƒ(xi)一阶差商二阶差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值节点无需递增排列,但必须确保互不相同!32数值积分()()dbaIffxx微积分基本公式:baaFbFxxf)()(d)((3)f(x)表达式未知,只有通过测量或实验得来的数据表但是在许多实际计算问题中(2)F(x)难求!甚至有时不能用初等函数表示。如21()sin,xfxxex(1)F(x)表达式较复杂时,计算较困难。如61()1fxx33数值积分公式的一般形式0()d()nbiiaifxxAfx求积节点求积系数机械求积方法将定积分计算转化成被积函数的函数值的计算无需求原函数易于计算机实现一般地,用f(x)在[a,b]上的一些离散点ax0x1···xnb上的函数值的加权平均作为f()的近似值,可得34定义:如果对于所有次数不超过m的多项式f(x),公式精确成立,但对某个次数为m+1的多项式不精确成立,则称该求积公式具有m次代数精度0()d()nbiiaifxxAfx将f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精确成立;但对f(x)=xm+1不精确成立。即:22110d2mmnbmmiiaibaAxxxm(k=0,1,…,m)代数精度的验证方法110d1kknbkkiiai
本文标题:数值分析期末复习要点总结
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