弹塑性力学-第六章

弹塑性力学第六章屈服条件和加载条件重庆大学土木工程学院第六章屈服条件和加载条件6.1基本假设6.2屈服条件概念6.3屈服曲面6.4Tresca和Mises屈服条件6.5Tresca和Mises屈服条件的比较6.6屈服条件的实验验证6.7加载条件和加载曲面6.8Mohr-Coulomb和Drucker-Prager屈服条件6.1基本假定对一般应力状态的塑性理论，作以下基本假设：•忽略时间因素的影响(蠕变、应力松弛等)；•连续性假设；•静水压力部分只产生弹性的体积变化(不影响塑性变形规律)；•在初次加载时，单向拉伸和压缩的应力-应变特性一致；•材料特性符合Drucker公设(只考虑稳定材料)；•变形规律符合均匀应力应变的实验结果。1).单向拉压应力状态的屈服条件6.2屈服条件的概念s()0sF(6.1)(6.2)s：屈服应力2).复杂应力状态的屈服函数(,,,,,)0xyzxyyzzxF(6.3)()0ijF或者:(6.4)应力空间、应变空间：分别以应力分量和应变分量为坐标轴组成的空间，空间内的任一点代表一个应力状态或应变状态。应力路径、应变路径：应力和应变的变化在相应空间绘出的曲线。屈服面：应力空间内各屈服点连接成的，区分弹性和塑性状态的分界面。引入的概念：6.2屈服条件的概念3).屈服条件/屈服函数(描述屈服面的数学表达式)()0ijF：材料处于弹性状态()0ijF：材料开始屈服进入塑性状态屈服条件应与方向无关，故屈服条件可用三个主应力或应力不变量表示：123(,,)0F123(,,)0FJJJ(6.6)(6.7)静水压力部分对塑性变形的影响可忽略，故屈服条件也可用主偏量应力或其不变量表示：各向同性材料:123(,,)0FSSS'''123(,,)0FJJJ(6.8)(6.9)''23(,)0FJJ'10J由于6.3屈服曲面一、主应力空间(6.10)(以主应力1,2,3为坐标轴而构成的应力空间)OQNPp平面L直线123任一应力状态静水应力矢量主偏量应力矢量123OPijk123()sisjskijkOPOQON主应力空间、L直线、p平面与1,2,3轴的夹角相等在主应力空间内，过原点且和三个坐标轴夹角相等的直线。方程：123L直线：主应力空间内过原点且和L直线垂直的平面。方程：1230p平面：总在p平面上6.3屈服曲面一、主应力空间123OPijk即直线方程1.球应力状态或静水应力状态几种特殊的应力状态在主应力空间中的轨迹：应力偏量为零，即123123mSSS且它的轨迹是经过坐标原点并与l、2、3三坐标轴夹角相同的等倾斜直线2.平均应力为零平均应力为零，即m=0，应力偏量Sij不等于零。3.应力偏量为常量应力偏量为常量，即Sl＝C1，S2＝C2，S3＝C3112233mccc轨迹是与等倾线平行但不经过坐标原点的直线在主应力空间中，它的轨迹是一个平面，该平面通过坐标原点并与等倾直线相垂直。6.3屈服曲面二、屈服曲面屈服曲面F(1,2,3)=0：为一平行L直线的柱面；屈服曲线f(J2’,J3’)=0：屈服曲面与p平面的交线——对应无静水压力部分的情况。6.3屈服曲面三、矢量OP在p平面上的投影Oyx2’q1’3’r30º121321321322()()222236xsssssy2222'tan//3rxyJyxq坐标轴1，2，3在p平面上的投影O1’、O2’、O3’互成120；矢量OP在p平面上的x，y坐标值为：矢量OP在p平面上的极坐标值为：(6.13)(6.14)(6.15)6.3屈服曲面2212122ij1112(,0,0)(,)26由于12矢量与p平面平行,故矢量OP在x,y平面上的坐标为：(6.13)O2’1’3’120º30ºx''1212'''12122212cos30233O222(0,,0)(0,)33332(0,0,)(,)26坐标变换：131322()()22xss2132132266sssy6.3屈服曲面引进极坐标的关系:可见Lode参数为：(6.14)O2’1’3’120º30ºx222213213'211()(2)2622rxyJT2131321tan3yxq(6.15)2131323tanq(6.16)6.3屈服曲面几种典型应力状态在p平面上的极坐标值：(6.17)2131233120,,0,2,0,021,,,303,021,,303oorrrqqq在纯剪切时：在单向拉伸时：在单向压缩时：6.3屈服曲面四、屈服曲面的特征AABBCCCCBBAA纯剪纯拉'1'2'330p平面上的屈服曲线(1)、屈服曲线为一封闭曲线，原点在曲线内部；(2)、对各向同性材料，若(S1,S2,S3)或(1,2,3)屈服，则各应力分量互换也会屈服，故屈服曲线关于1’,2’,3’轴均对称；(3)、对拉伸和压缩屈服极限相等的材料，若应力状态(S1,S2,S3)屈服，则(S1,S2,S3)也会屈服，故屈服曲线为关于垂直于1’,2’,3’轴的直线也对称。(4)、屈服曲线对坐标原点为外凸曲线，屈服面为外凸曲面。为了证明屈服面是外凸曲面，引入Drucker关于材料稳定性假说。根据硬化材料的稳定性形式，可以将材料分为稳定材料（强化材料）和不稳定材料（软化材料）。如果某一种材料，当应力的单调变化会引起应变同号的单调变化，或者当应变的单调变化会引起应力同号的单调变化，就称这种材料为稳定材料，反之，则称为不稳定材料。下图即为材料在简单拉伸下的应力-应变曲线的几种可能形式：6.3屈服曲面考虑硬化材料中的一个微单元体受某一初始应力作用处于平衡状态，通过“外部机构”在这个微单元体上施加附加应力，然后缓慢地移去，整个过程等温，Drucker做出了如下两个假设：(1)在加载过程中附加应力做正功；(2)在加载和卸载的一个应力循环中，如果产生塑性变形，则附加应力做正功，对于硬化材料，只有当应力循环中材料始终呈纯弹性变形时，这个功才等于零。Drucker公设6.3屈服曲面设附加应力为应力增量dσij，由此产生的应变增量是dεij，则第一个假设表述为：dσijdεij0它提供了复杂应力状态下材料硬化的定义。应当指出：这里的功不是总应力的功，而是附加应力的功，如上图(a)，即使在应变软化阶段dσdε0，但总的应力σ所做的功却是正的，即σdε0，这是热力学定律的要求。因此，从某种意义上说，Drucker公设对材料性质的约束比热力学定律更强。6.3屈服曲面如物体某点处的弹性应力状态为σ0，σ为屈服点，则在整个应力循环中塑性功(σ+dσ-σ0)εp≥0若dσ为无穷小量，则(σ-σ0)εp≥0复杂应力状态：单向应力状态：6.3屈服曲面整个应力循环总功：dtdtdtwijtttijijtttijijtijT*0ijij0ijijij0ijijij在屈服面上（即塑性状态区）总变形速度等于弹性变形速度与塑性变形速度之和，即：pijeijij从而dtdtdtweijtttijpijeijtttijeijtijT*06.3屈服曲面表示整个应力循环中的弹性功，它必须等于零，故dtdtdtdtwpijtttijeijtttijeijtttijeijtijT*0dtdtpijtttijeijijdteijijdtwpijtttijT而，应力循环是从开始的（相当于单向应力状态中的）。dtwpijtttij000ij06.3屈服曲面故整个应力循环中塑性功应为:dtdtwwpijtttijpijtttijT00dtpijijtttij)(0而塑性功率（耗能率）应为：0)()(limlim00000pijijijpijijtttijtTttdttww若Δt0，上式通过Taylor级数展开得：0)(21)(32000tttttwttwtpijijijpijijtpijijijT6.3屈服曲面上式表明，屈服面是外凸的。（通过几何解析）6.4Tresca和Mises屈服条件历史上关于材料进入塑性状态原因的不同假设第一个假设：材料进入塑性状态是由最大主应力引起的，即当最大主应力达到s时，材料即进入塑性状态。GalilMo在17世纪时提出在各向相等压缩时．压应力可以远远超过屈服极限s，而材料并未进入塑性状态，也未破坏。被实验所推翻原因：第二个假设：最大的主应变能使材料进入塑性状态St-Venant提出被实验所推翻第三个假设：Beltrami提出当最大弹性能达到一定值时，材料即开始屈服与实验相抵触6.4Tresca和Mises屈服条件一、Tresca屈服条件认为最大剪应力达到极限值时开始屈服:max13()/2k(6.18)(材料力学的第三强度理论)金属材料在屈服时，可以看到接近于最大剪应力方向的细痕纹(滑移线)，因此塑性变形可以是由于剪切应力所引起的晶体网格的滑移而引起的。1864年，Tresca作了一系列的挤压实验来研究屈服条件：123()四个强度理论:第一强度理论：最大拉应力理论第二强度理论：最大伸长线应变理论第三强度理论：最大剪应力理论第四强度理论：形状改变比能理论屈服破坏理论脆断破坏理论6.4Tresca和Mises屈服条件一、Tresca屈服条件p平面上的屈服曲线在p平面上，式(6.18)可表示为：12()222xk常量在30°q30°（即123)范围内为一平行y轴的直线，对称拓展后为一正六角形。123123213231321312132xyp平面上的屈服曲线(正六角形)6.4Tresca和Mises屈服条件一、Tresca屈服条件213p(正六边形柱面)122331222kkk主应力空间内的屈服条件:21o2k2k2k2k平面应力状态的屈服条件（30）:1221222kkk(6.19)(6.20)平面应力的Tresca屈服线6.4Tresca和Mises屈服条件一、Tresca屈服条件常数K值的确定:(6.23)Tresca屈服条件的完整表达式由简单拉伸实验确定：因1s，230，13s，故由纯剪实验确定：因1s，20，3s，故ks/2kss2s对多数材料只能近似成立222222122331()4()4()40(6.24)'3'22'24'623224()27()36()96640JJJJ(6.25)6.4Tresca和Mises屈服条件二、Mises屈服条件(6.27)22221223311[()()()]6JCTresca六边形的六个顶点由实验得到，但顶点间的直线是