9[1].1-二重积分的概念及性质

Ozyx第9章重积分9.1二重积分的概念与性质2重积分是定积分的推广和发展.分割、取近似、求和、取极限.定积分的被积函数是一元函数,而二重、三重积分的被积函数重积分有其广泛的应用.序言其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:其积分区域是一个确定区间.其积分域是一个平面有界是二元、三元函数,和空间有界闭区域.9.1二重积分的概念与性质3问题的提出二重积分的概念二重积分的性质小结思考题作业doubleintegral9.1二重积分的概念与性质第9章重积分9.1二重积分的概念与性质4一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.可作为二重积分的一个模型.9.1二重积分的概念与性质5),(yxfz曲顶柱体体积=1.曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体0),((yxf以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以曲面z=f(x,y),且在D上连续).oyxz顶是曲的顶是9.1二重积分的概念与性质6柱体体积=特点分析曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似.取近似、求和、取极限.底面积×高9.1二重积分的概念与性质7步骤如下用若干个D),(yxfz先任意分割曲顶V曲顶柱体的体积:并任取之和近似表示曲顶柱体的体积,iiniif),(10limxzyO),(ii),(iifi柱体的底,小区域,小平顶柱体体积9.1二重积分的概念与性质8(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似iii),(第i个小曲顶柱体的体积的近似式iVn,,,21(用表示第i个子域的面积).i将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点ni,,3,2,1iiif),(9.1二重积分的概念与性质9(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限作λ)趋于零,iiniifV),(lim10求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记上述和式的极限即为曲顶柱体体积iiniif),(1iiniif),(1V9.1二重积分的概念与性质102.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块,近似看作均匀薄片.iM(2)M(3)M(4)任取小块i设有一平面薄片,),,(),(yxyx处的面密度为在点Dyx在假定),(求平面薄片的质量M.iii),(iinii),(1iinii),(10limxyOi上连续,占有xOy面上的闭区域D,),(ii9.1二重积分的概念与性质11也表示它的面积,,个小区域表示第其中ii),,(iii上任取一点在每个二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义9.1,,,,21n作乘积),,,2,1(ni并作和.),(1iiniifiiif),(设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数,将闭区域D任意分成n个小闭域(1)(2)(3)9.1二重积分的概念与性质12积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素,d),(Dyxf这和式趋近于零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值的极限存在,则iiniif),(1二重积分,记为即iiniiDfyxf),(limd),(10称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的(4)9.1二重积分的概念与性质13曲顶柱体体积,d),(DyxfV它的面密度.d),(DyxM曲顶即在底D上的二重积分,),(yxfz平面薄片D的质量即0),(yx在薄片D上的二重积分,9.1二重积分的概念与性质14(2)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,Dyxfd),(二重积分可写为注定积分中(1)重积分与定积分的区别:重积分中,0ddx可正可负.yxddDyxf),(则面积元素为yxdddDyxfd),(DOxy9.1二重积分的概念与性质152.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数Dyxfd),(存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,相应的积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在9.1二重积分的概念与性质16(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其他的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那么，f(x,y)在D上,0),(时当yxf,0),(时当yxf柱体体积的负值;柱体体积;当f(x,y)在D上的若干部分区域上是正的,9.1二重积分的概念与性质17例设D为圆域222Ryx二重积分DyxRd222=解222yxRz上述积分等于DyxRd222.π323R由二重积分的几何意义可知,是上半球面上半球体的体积:RyxzOD9.1二重积分的概念与性质18性质9.1(线性性质)为常数,则(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质Dyxgyxfd)],(),([、设DDyxgyxfd),(d),(根据二重积分的几何意义,确定积分值,d)(22Dyxb).0(ab222ayxD为其中ba2πDbdDyxd22)π31(π33aaba2π.π323a9.1二重积分的概念与性质19性质9.2(区域可加性)将区域D分为两个子域Dyxfd),()(21DDDOxyD1D2D1与D2除分界线外无公共点.D1d),(Dyxf.d),(2Dyxf将区域D分为两个子域D1,D29.1二重积分的概念与性质20以1为高的性质9.3(几何应用)若为D的面积注Dd既可看成是以D为底,柱体体积,Dd1Dd又可看成是D的面积.9.1二重积分的概念与性质21例41222222dd)πsin(yxyxyxyx的值=().(A)为正.(B)为负.(C)等于0.(D)不能确定.为负B性质9.4(正性),),(,0),(Dyxyxf则Dyxfd),(09.1二重积分的概念与性质22Dyxfd),(推论2(绝对可积性)推论1(单调性),),(),,(),(Dyxyxgyxf设则Dyxgd),(Dyxfd),(Dyxfd),(若f(x,y)可积,保序性比较性则|f(x,y)|可积,且有9.1二重积分的概念与性质23选择题比较与d)(21DyxI,1)1()2(:22yxD其中(D)无法比较.oxy1••1•2C(2,1)•单调性.)()(32yxyxd)(32DyxI的大小,则().)A(21II.)B(21II.)C(21II1yx,),(Dyx,1yx9.1二重积分的概念与性质24,d)cos(,dcos222221DDyxIyxI设,d)cos(2223DyxI},1),({22yxyxD其中.)A(123III则.)B(321III.)C(312III.)D(213III],2π,0[]1,0[x2222222)(yxyxyxxcos由于所以2222222)cos()cos(cosyxyxyx考研数学(三,四)(4分)单调性9.1二重积分的概念与性质Dyxfd),(,),(Dyx则Dyxgd),(),(),(yxgyxf设25DMyxfmd),(几何意义以m为高和以M为高的两个证Dd再用性质9.1和性质9.3,性质9.5(估值性质)则σ为D的面积,Myxfm),(,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.DdDd),(DCf设M、m为f(x,y)在D上的最大、最小值,9.1二重积分的概念与性质2622eyxde)(22Dyx.πedeπ222)(aDyxabab解估值性质DMyxfmd),(区域D的面积πab在D上,因为220yx例,de,)(22的值估计不作计算DyxI).0(,1:2222abbyaxD是椭圆闭区域其中2a2ea0e12eamM所以,即,9.1二重积分的概念与性质27性质9.6(积分中值定理)Dyxfd),(体积等于),(f以显然几何意义证(使得),(f,),(,0),(Dyxyxf设则曲顶柱体以D为底为高的平顶柱体体积.将性质9.5中不等式各除以DMyxfmd),(1.0,有),(DCf设,),(D则DMyxfmd),(为D的面积)9.1二重积分的概念与性质28DMyxfmd),(1f(x,y)的最大值M与最小值m之间的.Dyxfd),(1由有界闭区域上连续函数的介值定理.Dyxfd),(1两端各乘以),,(点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该),(f与这个确定的数值相等,即,9.1二重积分的概念与性质29选择题222yx).(d),(π1lim22220是极限yxyxf(A)(B)(C)(D)提示:B设f(x,y)是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.).0,0(f).1,1(f).0,1(f利用积分中值定理.9.1二重积分的概念与性质30利用积分中值定理,),(lim0f解即得:222d),(π1lim20yxyxf求222222d),(d),(yxyxfyxf222yx),(222d),(π1lim20yxyxf).0,0(f,0时当),(点由函数的连续性知,),(π2f显然,).0,0(其中点是圆域内的一点.),(d),(fyxfD9.1二重积分的概念与性质31补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.Dyxfd),(oxyD1)),(),((yxfyxf即则D1为D在第一象限中的部分,对称性质.1d),(2Dyxf坐标y为奇函数0d),(Dyxf)),,(),((yxfyxf即则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于9.1二重积分的概念与性质32这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz区域D关于x轴对称区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数f(x,y)关于坐标y为奇函数9.1二重积分的概念与性质33Dyxfd),(如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数.0d),(DyxfoxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x则)),,(),((yxfyxf即为偶函数)),,(),((yxfyxf即则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,1d),(2Dyxf9.1二重积分的概念与性质34,d)]sin()[sin(22DyxxyA计算二重积分解)sin()sin(22yxxy和由性质得Dxyd)sin(2DyxxyAd)]sin()[sin(22.000例d)](sin2yxD积分区域D关于x轴,y轴都对称,分别关于x和y是奇函数,}.11,11),{(yxyxD其中9.1二重积分的概