一道高考题的十二种解法

一道高考题的十二种解法湖南省衡阳市衡东二中肖建华刘长征(421451)2008年重庆卷第4题：已知函数13yxx的最大值为M，最小值为m，则mM的值为（）A.14B.12C.22D.32此题作为一道选择题，我们可易得出答案为C，但此题也是一道典型的型如(0)yaxbcxdac函数最值求法，它是高中数学一个难点内容，本文研究此题多种解法，也正是对此类函数最值常见求法小结。一、利用幂函数性质求最值解法1：函数yu在(0,)为增函数且随u的增大，增加速度越来越慢，而13xx可以看成是数轴上1到x距离开方与x到3的距离开方之和，根据函数yu的上述性质可得：当13xx即1x时y取得最大值22,当1x或3x时y取得最小值2.二、利用二次函数性质求最值解法2：显然0y，两边平方得224232yxx,移项得224232yxx,因为[3,1]x，232[0,4]xx,所以y的最大值为22，y的最小值为2.解法3：由上变形得到的224232yxx（注意240y）,两边再平方整理得24248840xxyy（＊）,记242()4884fxxxyy,方程（＊）在[3,1]有解，因为函数()fx图像关于1x对称,发表在《中学数学杂志》所以20(3)008(1)0fyf,又因为240,0yy,所以y的最大值为22，y的最小值为2.三、利用三角变换求最值解法4：因为[3,1]x,故1[0,2]x，3[0,2]x,所以可设12cosx,32sinx，[0,]2,所以2cos2sin22sin()4y,因为[0,]2，3[,]444，2sin()[,1]42,所以222y，故y的最大值为22，y的最小值为2.解法5：设21cosxy，23sinxy,所以241cosxy，243sinxy,消去x得44222411sin2(cos)22comy,所以241[,1]2y,因为0y，所以y的最大值为22，y的最小值为2.四、构造线性规划问题解法6：设1ux，3vx，[0,2]u，[0,2]v，则原函数最值可转化为已知224uv，求函数yuv的最值，当直线0uvy与圆224uv在第一象限相切时y取到最大值为22，当直线0uvy由原点移到刚好与圆224uv在第一象限相交时y取到最小值为22.如图（1）：图（1）图（2）五、构建向量求最值解法7：设向量(1,1),(1,3)abxx，则yab,令1,3mxnx，则(,)bmn终点表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限部分上点.（如图2）,所以a与b夹角范围为[0,]4，2cos,[,1]2ab,cos,22cos,yabababab,所以222y,故y的最大值为22，y的最小值为2.六、构建对偶函数求最值解法8：引进13yxx的对偶函数31zxx，因为函数31zxx在[3,1]为增函数，所以22204zz，222288yzyz，所以248y，因为0y，所以222y，所以y的最大值为22，y的最小值为2.七、利用导数求函数最值解法9：对函数13yxx求导得:'111()231yxx,abmnouvo22令'0y得1x,所以当3x或1x时y有最小值为2,当1xy有最大值为22.八、利用重要不等式求最值解法10：由柯栖不等式222()nnniiiiiiiabab，当且仅当1212nnbbbaaa取等号所以有：2222131113(12)((1)(3))22xxxxxx所以当1x时，y有最大值为22，由[3,1]x可得y有最小值为2.九、利用方差求最值解法11：由方差的性质：对(1,2,,)ixRin，记11niixxn,2211()niisxxn,22221111()0nniiiisxxxxnn,（当且仅当ixx时取等号，1,2,in）,根据以上性质，记1,3xx平均数为2y,2222(1)(3)()022xxys,所以24()02y,得28y，故y有最大值为22，由[3,1]x可得y有最小值为2.解法12：由方差性质：22()0DEE，可构造如下分布列：1x3xP1212所以2213()()22xxE，213222xxE，因为22()0DEE，所以有2213()()222xxE所以2(13)8xx，即28y，故y有最大值为22，由[3,1]x可得y有最小值为2.