随机过程考试试题及答案详解

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程CtRtX)(，),0(t，C为常数，R服从]1,0[区间上的均匀分布。（1）求)(tX的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1）xdttfxF)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tX为),(ba上的均匀分布，概率密度函数其他,0,1)(bxaabxf，分布函数bxbxaabaxaxxF,1,,0)(，2)(baxE，12)()(2abxD；（3）参数为的指数分布，概率密度函数0,00,)(xxexfx，分布函数0,00,1)(xxexFx，1)(xE，21)(xD；（4）2)(,)(xDxE的正态分布，概率密度函数xexfx,21)(222)(，分布函数xdtexFxt,21)(222)(，若1,0时，其为标准正态分布。【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。（1）因R为]1,0[上的均匀分布，C为常数，故)(tX亦为均匀分布。由R的取值范围可知，)(tX为],[tCC上的均匀分布，因此其一维概率密度其他,0,1)(tCxCtxf，一维分布函数tCxtCXCtCxCxxF,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数CttEXtmX2)()(；相关函数2)(231)]()([),(CtsCsttXsXEtsRX；协方差函数12)]}()()][()({[),(sttmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方差函数）【注】)()()(22XEXEXD；)()(),(),(tmsmtsRtsBXXXX求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''yxyfxyyfxft2、（15分）设ttW),(是参数为2的维纳过程，)4,1(~NR是正态分布随机变量；且对任意的t，)(tW与R均独立。令RtWtX)()(，求随机过程ttX),(的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1题。依题意，|)|,0(~)(2tNtW，)4,1(~NR，因此RtWtX)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(tEXtmX；相关函数5)]()([),(tXsXEtsRX；协方差函数4)]}()()][()({[),(tmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方差函数）3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(sYDsYE，故222)(sYE，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(YEmX；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22YEX。4、（15分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：3.007.08.02.0007.03.0P（1）求两步转移概率矩阵)2(P及当初始分布为0}3{}2{,1}1{000XPXPXP时，经两步转移后处于状态2的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3题及4.16题（1）两步转移概率矩阵09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)2(PPP当初始分布为0}3{}2{,1}1{000XPXPXP时，56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组13.08.0002.07.07.003.0321321332123211解上述方程组得平稳分布为238,237,2383215、（15分）设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{I，转移概率矩阵为：010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例4.13题和4.16题画出状态转移图如下：（1）由上图可知，状态分类为}5,4{};3,2,1{21GG（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对1G常返闭集而言，解方程组1003.014.04.006.03.0321321332123211解上述方程组得平稳分布为5037,90259,1537321则各状态的平均返回时间分别为37501,259901,37151332211tttB、对2G常返闭集而言，解方程组107.013.021212211解上述方程组得平稳分布为177,171021则各状态的平均返回时间分别为7171,101712211tt123456、（15分）设(),0Ntt是参数为的泊松过程，计算()()ENtNts。【解答】222()()()()()()()()()()()()()()()(1)ENtNtsENtNtsNtNtENtNtsNtENtENtENtsNtENttstttts7、（15分）考虑一个从底层启动上升的电梯。以iN记在i第层进入电梯的人数。假定iN相互独立，且iN是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率ijp在第j层离开电梯，1ijjip。令jO＝在第j层离开电梯的人数。（1）计算()jEO（2）jO的分布是什么（3）jO与kO的联合分布是什么【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以ijN记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则ijN是均值为ijip的泊松变量,且全部),0(ijiNij相互独立。因此：(1)[][]jijiijiiEOENp(2)由泊松变量的性质知，jijiijiiONp是均值为的泊松变量(3)因ikOO与独立，则2!!!!)()()(ekiekeiOPOPOOPikkikiki，为期望。8、（15分）一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),[htt内，它都以概率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。【解答】参见教材习题5.2题依题意，由)()(lim0jiqttpijijt得，)(1jiqij，柯尔莫哥洛夫向前方程为)()()(21,1,'tptptppjijiijij，由于状态空间}3,2,1{I，故1)()()(1,1,tptptpjijiij，所以1)(3)(1)(2'tptptppijijijij，解上述一阶线性微分方程得：31)(31tijcetp，由初始条件jijipij,0,1)0(确定常数c，得jiejietpttij,3131,3231)(3131故其平稳分布3,2,1,31)(limjtpijtj考试加油，童鞋万岁！！