数学建模减肥模型

差分方程模型•差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形•式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。下面我们就来看一个具体的例子。减肥计划——节食与运动•您的体重正常吗？不妨用联合国世界卫生组织颁布的所谓体重指数（简记为BMI)衡量一下，BMI定义为体重（单位：kg）除于身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。•在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通•过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。本节要建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过节食与运动制订合理、有效的减肥计划。•模型分析通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。•减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。•通常，制订减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。•模型假设根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：•1。体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kJ）；•2。正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至3200kcal；•3。运动引起的体重减少正比于比重，且与运动形式有关；•4。为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要少于10000kcal。•基本模型记第k周末体重为w(k)，第k周吸收热量为c(k)，热量转换系数=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为•（1）•增加运动时只需将改为由运动的形式和时间决定。•减肥计划的提出通过制订一个具体的减肥计划讨论模型（1）的应用。•某甲身高1.7米，体重100公斤，BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75公斤,2,1,0),()1()()1(kkwkckwkw11,•并维持下去：•1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（1000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限。•2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。•3）给出达到目标后维持体重的方案。•减肥计划的制订•1）首先应确定某甲的代谢系数。根据他每周吸收c=20000kcal热量，体重w=100kg不变，由（1）式可得025.0100/8000/20000/wcwcww•相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以知道，某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多，难怪如此之胖。•第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减至下限，即•w(k)-w(k+1)=b,w(k)=w(0)-bk•由基本模型（1）式可得•将的数值代入，并考虑下限，有kcalc10000min)1()0(])([1)1(kabwbkwkcb,,minc1000020012000)1(minckkc•得，即第一阶段共10周，按照•（2）•吸收热量，可使体重每周减少1公斤，至第10周末体重达到90公斤。•第二阶段要求每周吸收热量保持下限，由基本模型（1）式可得：•为了得到体重减至75公斤所需的周数，将（3）式递推可得10kminc9,,1,0,20012000)1(kkkcmin)()1()1(ckwkw/]/)([)1(])1()1(1[)()1()(minmin1mincckwckwnkwnnn•已知w(k)=90，要求w(k+n)=75，代入已知数据，则（4）给出•得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75公斤。•2）为加快进程，第二阶段增加运动。经过调查资料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：)5(50)5090(975.075n运动跑步跳舞乒乓自行车（中速）游泳50m/秒热量消耗（kcal)7.03.04.42.57.9•记表中热量消耗，每周运动时间t，为利用基本模型（1）式，只需将改为，即•试取，即，则（4）式中的应改为，（5）式为•（7）•得到n=14，即若增加的运动（如每周跳舞8小时或自行车10小时），就可将第二阶段的时间缩短为14周。•3）最简单的维持体重75公斤的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数c，使w(k)不变。由（6）式得025.0t)6()()()1()()1(kwtkckwkw003.0t24t028.0t6.44)6.4490(972.075n24twtcww)(•若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上)，则c=16800kcal。•评注人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应该科学化、定量化。这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。•体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢系数，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所改变。从上面的计算中我们看到，当由0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应用这个模型是要对作仔细的核对。)8(/)(wtc