10-薄壁箱梁弯曲理论

10薄壁箱梁的弯曲理论梁弯曲的初等理论箱形梁的弯曲剪应力薄壁箱梁的剪力滞效应理论剪力滞效应的变分解法超静定结构的剪力滞效应剪力滞效应的比拟杆解法小结本章参考文献梁弯曲的初等理论(1)弯曲正应力在纯弯曲下，梁截面的变形服从平截面假设。则根据变形的几何关系可得到zdd1距中性面处的任一纤维的应变为yyyz上式表明：梁中的纵向应变与该点的曲率以及该纤维离中性面的距离成正比。该式是梁纯弯曲变形的基本方程，且与材料性质无关。在一维线弹性情况下，由应力应变关系的虎克定律得到=yEy由截面法向力的平衡可以求得法向应力与外力弯矩的关系为zMyEAydxEIAd所以z=xIMy上列式中的符号规定为：当力矩使梁的顶面产生压缩时，方程中的为正，而向下方向为正。从式可以看出梁中最大拉应力和最大压应力发生在距中性轴最远的点上。y对于如图所示的偏心压弯杆，若，=，则yxPeMyMxPeyyxxyxxyxyxxyyxyzMIIIxIyIMIIIyIxIAP22(2)开口截面的弯曲剪应力梁弯曲的初等理论对于实腹梁，其弯曲剪应力平行于剪力Q，并认为剪应力沿梁宽方向的分布是均匀的。因此，剪应力的计算公式为bIQSx偏心压弯杆对于箱形梁的剪应力计算。可近似地将箱形梁看成宽翼缘的工字梁。对于宽翼缘的工字梁，其腹板剪应力平行剪力作用的竖向轴，而翼缘剪应力平行于轴，并假设沿板厚度方向均匀分布（图），则剪应力计算公式同样可以适用x宽翼缘梁腹板中的剪应力宽翼缘梁计算截面以外面积（图中的阴影部分）对中性轴的一次矩为=222222111hhhhhbS22211111yhyyht212121242442yhthhb腹板中的剪应力为212121242442yhthhbtIQx令，可求得最大剪应力1y0)888(21212maxthbhbhtIQx它发生在中性轴处。若令，可得腹板最小剪应力21hy88212minbhbhtIQx一般地，宽翼缘梁腹板的厚度与翼板宽度相比是比较小的，因此最大剪应力与最小剪应力数值差别不大，从而整个腹板截面上的剪应力分布是接近于均匀的。因此作为近似计算可以直接将剪力除以腹板面积作为腹板的最大剪应力。计算翼缘板中的剪应力时，对中性轴的一次矩为tbmaxminQthS21122yhhbS翼缘板的剪应力为xIyQb21翼缘板中的剪应力沿轴是线性分布的，在翼缘板外边缘处剪应力等于零。x(3)剪切变形的影响如图所示的矩形直梁，该横截面翘曲位移函数为，与其对应的沿轴线变化的广义位移为，挠曲位移为，则)(yf)(zu)(zw)()()(),,()(zwyzuyfzyxuzww横截面上任一点的轴向位移轴线挠度不考虑横向挤压应变时，有uyfyuzwwyuyfzu)()(则考虑剪切应变能时的总势能为lhhllhhzwMzyGbzyEb02/2/0202/2/2ddd2dd2lllzwuAzuAzwEI02202102dd)(d)(21llzwMzuA0023dd21yyfGbAyyyfEbAyyfEbAEbhyyEbEIhhhhhhhhd)]([d)(d)(12d2/2/232/2/22/2/2132/2/2由变分原理有0zuuAuwAuAwMuAwEIld]δδ)(δ)[(δ032120)](δ[d]δ)(δ)[(00213212llwAuAuzuuAwAuAwMuAwEI得控制方程03212uAwAuAMuAwEI及边界条件0][δ021lwAuAu整理后得ukEIMwMkuKu212受弯矩形梁的尺寸及坐标式中)//(22132EIAAAk)//(22121EIAAkkEIAk/22若取则对于简支梁承受均布荷载的情况，可求得挠度为hyyfsin)(hbGAbhEAbhEA222232221,,q322221124322ch2ch1262azazkqkkklklkzkakzlzEIqw纵向位移为)(zlkqkklklkzau222ch2sh211跨中挠度为)/(2lz2221342182ch113845kqlkkklaEIqlw/截面正应力为ykhyuEyIMwEyhyuEz2sinsin上列各式中12322132311224akkakqlkkEIqlaqkka由此可见，无论是应力，还是挠度，均与初等梁理论有所不同。箱形梁的弯曲剪应力(1)薄壁构件单元体中的剪力流方程图示的薄壁单元体的平衡条件为0ztsqz0xyI当薄壁构件的横截面具有一个对称轴时,则该对称轴总是主轴,箱形梁一般地都具备这一条件，对于主轴其惯性积，因此，法向应力为薄壁单元体中的剪力流xIMyIMyyxxz把平衡条件式移项后并沿薄壁中心线对曲线坐标进行积分,得到(图示)sstzzqzsqszd)(),(0注意到只有弯矩、是的函数，并有xMyMzyxQzMxyQzM开口薄壁截面的平衡条件可以得到剪力流方程syxsxysxtIQsytIQq00dd引入sxsxtS0dsysxtS0d则xyxyxySIQSIQq当构件上只作用有时,上式又简化为yQxyIQq与实腹梁的剪应力计算公式形式上是一致的(2)单室箱形截面的剪力流在计算箱形截面剪力流时遇到的困难是任意起始点的剪力流是未知的(开口薄壁截面杆件自由边缘的剪力流,它属于超静定问题。为了确定剪力流的初始值，必须在箱形截面的任一位置上虚构一个切口，这样箱形截面也就转化为开口截面来求解。)0qqq在计算剪力流时，必须假定作用在箱梁上的横向外力和的作用线通过截面的剪切中心,如图所示，这样梁在弯曲时不产生扭转。在虚构一切口后的箱形截面由外荷载产生的剪力流，其沿断面壁厚中心线方向为均匀分布，并规定以坐标的正方向作为它的正方向。因样，单室箱形截面总的剪力流应由开口截面的剪力流与附加剪力流相叠加而得qxQyQoiqoqiqsiqqq0因此，必须在虚设的切口处满足变形连续条件，即在虚构的切口处两对应面的相对位移等于零．0ds式中剪切变形，剪力流等于与壁厚的乘积，因此上式可写成Gtq0dsGtq上式即为剪切变形的协调条件．得到0dd0GtsqsGtqi所以，附加未知剪力流为GtssGtqqidd0当箱形梁采用同一材料时，剪切模量G为一常数，可简化为tstsqqidd0单室箱形截面单室箱形截面弯曲时总的剪力流由下式求得tstsqqqdd00如果单室箱形截面对轴对称，并且横向外力的作用线也与对称轴重合,如图所示。则杆件弯曲时，位于对称轴上的、两点的剪力流等于零，因此，可以利用对称性将箱形截面的切口虚设在、两点中的任一点，yABABs0iq断面中心线坐标的起点也先取在切口处，此时不必求附加剪力流（），杆件弯曲时产生的剪力流可直接按照开口截面的公式计算。剪力流的分布对称于竖向对称轴单室对称箱形截面的剪力流(3)多室箱形截面的剪力流首先将闭合截面都切开，转化为开口截面，然后应用变形协调条件，使被切开的截面恢复为原先的闭合截面，从而求得剪力流。这样有室组成的箱形截面切开后，就有个多余剪力流。可以在每一个切口处建立一个变形协调方程，其一般形式为nniikiiqGtsqsGtqdd00d,Gtskini2,1为与第室相邻的室。如下图所示三室箱形截面，当所用的材料相同时，可以建立如下三个方程。ki112,121010dddtsqtsqstq222,13,2312020ddddtsqtsqtsqstq0ddd3,2233303tsqtsqstqiqqq0多室箱形截面的剪力流（4）箱形截面的剪切中心前面在分析箱形截面构件的弯曲时，都假定横向外力的作用线通过剪切中心这一特殊点，这样杆件在外力作用下不产生扭转，只发生弯曲变形。截面的剪切中心是杆件截面的几何特征之一，它是由截面的几何形状所决定的。开口截面的剪切中心的计算公式，通过横向外力作用线通过该点使截面不产生扭转变形这一条件可以得到。2020xyyxxxyxyxyyxxxyyyIIIIIIIyIIIIIIIxsbybxssytIsxtI000ddd当坐标轴为主轴时，则简化为,0xyIyxxyIIyIIx00箱形截面的剪切中心计算要根据截面上的剪力流的平衡条件求出,即要求截面上的剪力流沿、两方向的合力分别等于作用在该截面上的外剪力、。同时要求外剪力对于形心的扭矩分别等于由于剪力、产生的剪力流对形心的转动力矩，即xyyQxQxQyQqsxxsyysQqyQsQqxQd)(d)(00令上式中的、分别等于1，则上式的左边（、）即表示剪切中心的位置。式中的剪力流是假想开口截面剪力流与附加多余剪力流的叠加值。因此，可表示为xQyQ0x0ysnixixsniyiysQqsQqysQqsQqx100100d)1(d)1(ˆd)1(d)1(ˆ式中、表示箱形截面的剪切中心，用、代表式中的第一项，即虚设开口截面的剪切中心位置；、表示虚设开口截面闭合时所要求的剪切中心的位移，则写成0x0y0x0y0x0y000000yyyxxx、又可表达为0x0y1)(Q21)(Q2x0y0n1iiin1iiiqAyqAx值得注意的是，剪切中心与形心并不在同一点上薄壁箱梁的剪力滞效应理论（1）剪力滞效应及其分析方法为了说明剪力滞效应的基本概念,先取一悬臂箱形薄壁梁为例,在悬臂端的梁肋处施加一对集中力，如图所示p剪力滞效应示意在平行于截面处，应用初等梁的弯曲理论，顶板上得到均匀分布的弯曲拉应力。离固端处愈近，拉应力的强度也愈高。但是实际上，腹板传递的剪力流在腹板与翼缘板的交界处要大，而向板内传递的过程中，由于翼缘板（上、下翼板）存在剪切变形，故向板内传递的剪力流要逐渐的变小。以顶板为例，其拉应力在顶板宽范围之内的分布是不均匀的，呈现板的中间小而两边大的分布状态。很明显，肋处的剪力流向板中传递过程，有滞后现象，所以工程界称之谓“剪力滞效应”或“剪力滞后现象”。定义AD0最早涉入剪力滞问题的理论推导是弗·卡曼（），他曾取一跨径为且承受余弦形荷载的连续梁为解析对象，利用最小势能原理，推导出连续梁有效分布宽度，称之为“卡曼理论”。在航空工程中，由于在轻金属飞机机身的盖板下布置了许多小型I字梁，受力之后，剪力滞效应要比桥梁结构严重得多。它不仅有应力分布不均匀现象，还存在薄板翘曲失稳问题。这种不均匀的应力状态在美国工程界通称“剪力滞效应”，在英国称之为“弯曲应力的离散现象”，两者虽然取名各异，但实质上是一回事。T.V.Karmanl2从1969年11月到1971年11月，在奥地利、英国、澳大利亚、德国相继发生了四起钢箱梁失稳或破坏事故。事故发生后，许多桥梁专家对四座桥梁的设计及计算方法进行了研究与分析，提示出这四座桥的计算方法存在严重的缺陷，其中一