专题(三)--一次函数与反比例函数的综合运用

-1-专题（三）一次函数与反比例函数的综合运用本专题是对一次函数与反比例函数的综合问题进行复习与深化，这类综合题考查的知识点多，能力要求强.试题呈现形式活泼多样，既有一次函数、反比例函数与代数的综合又有与空间几何的综合.解决这类问题首先要理清头绪，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据实际问题情境或图象列出相应关系式，从而建立函数模型.例(2014·成都)如图，一次函数y=kx+5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y=-8x的图象交于A(-2,b)，B两点.(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB向下平移m(m0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.【思路点拨】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式得b，将A坐标代入一次函数解析式得k；(2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m的值.【解答】（1）∵A(-2,b)在y=-8x上，∴-2b=-8，b=4.∴A(-2,4).∵A(-2,4)在y=kx+5上，∴k＝12，∴一次函数为y＝12x＋5.(2)向下平移m个单位长度后，直线为y=12x+5-m，由题意，得15.82yyxmx，整理得12x2+(5-m)x+8=0，∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点，∴Δ=(5-m)2-4×12×8＝0，解得m＝1或9.方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ0.-2-1.(2014·菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y＝mx(x＞0)的图象相交于点B(2，1).(1)求m的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x0时，不等式kx+bmx的解集.2.(2014·广州)已知一次函数y=kx-6的图象与反比例函数y=-2kx的图象交于A、B两点，点A的横坐标为2.(1)求k的值和点A的坐标；(2)判断点B的象限，并说明理由.3.(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1，a)、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m、n的值；(2)求直线AC的解析式.-3-4.(2014·宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-3x的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.(1)求A、B两点的坐标；(2)求△ABC的面积.5.(2014·甘孜)如图，在△AOB中，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C的坐标.-4-6.(2014·资阳)如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(-32，0)，且与反比例函数y=mx(m≠0)的图象相交于点A(-2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？参考答案1.(1)把点B(2，1)代入y＝mx，得m＝1×2=2.∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，B(2，1)，∴0,12.kbkb解得1,1.kb∴一次函数的解析式为y＝x-1.(2)x＞2.2.(1)当x=2时，y=kx-6=2k-6，y=-2kx=-k.由题意，得2k-6=-k.解得k=2.故一次函数解析式为y=2x-6，反比例函数解析式为y=-4x.∴A(2，-2).-5-(2)B点在第四象限，理由如下：一次函数y=2x-6经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，因此它们的交点都是在第四象限.3.(1)∵直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-1，a)、B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0).∵△AOC的面积为1，∴A(-1，2).将A(-1，2)代入y=mx，y=nx可得m=-2，n=-2.(2)设直线AC的解析式为y=kx+b，∵y=kx+b经过点A(-1，2)、C(1，0)，∴20.kbkb，解得11.kb，∴直线AC的解析式为y=-x+1.4.(1)根据题意得23yxyx解方程组得1,3xy或3,1.xy∴A(-1，3)，B(3，-1).(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2，∴D(2，0).∵C、D两点关于y轴对称，∴C(-2，0)，∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12×(2+2)×3+12×(2+2)×1=8.5.(1)由S△BOD＝4，得k＝8.∴反比例函数解析式为y=8x.(2)∵OB＝4，AB＝8，∠ABO＝90°，∴A点坐标为(4，8).设直线AO的解析式为y＝kx，则4k＝8，解得k＝2.即直线AO的解析式为y＝2x.联立方程组：82.yxyx，解得1124xy，或2224.xy，(舍去)-6-∴点C的坐标为(2，4).6.（1）∵函数y=kx+b图象过点P(-32，0)和点A(-2，1)，∴30,221.kbkb解得2,3.kb∴一次函数的解析式为y=-2x-3.又反比例函数的图象过点A(-2，1)，∴2m=1，即m=-2.故反比例函数的解析式为y=-2x.(2)联立23,2yxyx解得1121xy，或221,24.xy∴B(12，-4).由图可知，当-2＜x＜0或x＞12时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.