高等桥梁结构理论课程讲义2014-05

第五讲薄壁箱梁约束扭转12020/6/325.2闭口截面的约束扭转乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论基本假定：横截面周边不变形；横截面上的法向应力和剪切应力沿壁厚是均匀分布的；横截面上轴向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的。图5-10薄壁杆件约束扭转6/3/20203令轴向位移为),(zsu，z为纵向坐标，s表示沿横截面周边。当闭口截面发生自由扭转时，由式（4-9）可知，薄壁截面轴向位移为：ssKdsszdsGMzuszu000)()(')(),(（5-31）对于闭口薄壁杆件，由截面0s处的位移连续条件可得，即)()()(')(),(00zudsszdsGMzuszuK（5-32）化简，得)('2zdsGMK（5-33）将（5-33）代入到（5-31）中，则有ssdsdsdsszzuszu000)()(')(),(（5-34）令ssdsdsdsss00)()(（5-35）6/3/20204称为广义扇形坐标，则式（5-34）变为)()(')(),(0szzuszu（5-36）根据基本假定c)，可以写出闭口薄壁截面的约束扭转轴向位移，即)()(')(),(0szzuszu（5-37）式中，)('z——表示截面的翘曲程度。将式（5-37）对z微分一次，则)()('')0,('0szzuz（5-38）5.2.1约束扭转正应力闭口薄壁截面约束扭转正应力为)]()('')0,('[0szzuE（5-39）由于杆件截面仅有扭转力矩M，故截面上的轴力N、绕两个轴的弯矩yxMM,均为零，即翘曲应力（或约束扭转正应力）是自相平衡的，根据力的平衡，可列出如下方程：6/3/202050,00,00,0xdsMydsMdsNyx（5-40）将（5-39）代入到（5-40）中，则有0)()()0,('0)()()0,('0)()()0,('dsxszdsxzudsyszdsyzudsszdszu（5-41）对于闭口截面的扭转中心而言，广义扇性惯性矩应该为零，即0)(0)(dsysJdsxsJyx（5-42）当选择适当的积分起点（扇性坐标零点，即S坐标的起点）时，使广义扇性静矩也等于零，则0)(dssS（5-43）6/3/20206将式（5-42）、（5-43）代入到式（5-41）中，有0)0,('0)0,('0)0,('dsxzudsyzudszu（5-44）当截面对称，且扇性零点为对称轴与周边的交点时，有0)0,('zu（5-45）则constzu)0,(（5-46）将式（5-45）、（5-46）代入式（5-39）中，有)()(''),(szEsz（5-47）从上式中可以看出，截面上约束扭转正应力的分布是和广义扇性坐标成正比的。对应扇性零点的物理意义是：该点上广义扇性坐标为零，或者说正应力为零，因而在该点上的积分起始值也是零。6/3/20207与开口截面薄壁杆件类似，闭口截面薄壁杆件的广义内力——双力矩定义如下：dFsszzB)(),()(（5-48）将式（5-47）代入上式，即)('')()('')(2zEJdFszEzB（5-49）式中，J为闭口薄壁截面广义主扇性惯性矩，即dFsJ2)(。EJzBz)()(''（5-50）将式（5-50）代入到（5-47）中，有)()(),(sJzBsz（5-51）上式即为闭口薄壁杆件截面约束扭转正应力与双力矩的关系。6/3/202085.2.2约束扭转剪应力在闭口薄壁截面杆件中面上任取一),(szM点附近微元体，如图5-11所示。图5-11闭口薄壁截面杆件中面上任取一点),(szM由力的平衡条件可知，0sz（5-52）对上式积分，即)(),(00zdszszs（5-53）其中，)(0z是任意积分函数，其物理意义表示曲线坐标0s点的剪应力。6/3/20209将式（5-47）代入到（5-53），则)()()('''),(00zdsszEszs（5-54）令sdssS0)(（5-55）则)()('''),(0zSzEsz（5-56）图5-12薄壁箱梁在扭转力矩M（注：图中Mk应修改为M）6/3/202010初始剪力流)(0z，如图5-12，由薄壁箱梁内、外力平衡条件可得dsSzEdszdszSzEdsM)(''')()()('''00（5-57）故dsSzEMz)(''')(0（5-58）将式（5-58）带入到（5-56）中，有SzEMdsSSzEMsz)(''')('''),(（5-59）式中，dsSSS，为闭口截面的换算静面矩。故约束扭转剪应力为SzEMsz)('''),(（5-60）从上式中可以看出，薄壁杆件在扭矩荷载作用下的剪应力由两项组成，即自由扭转剪应力和约束扭转剪应力。约束扭转剪应力也可以用扭转双力矩来表示，即JSzBsz)('),(（5-61）由公式（5-28）可知，上式还可以写成如下表达式JSzMsz)(),(（5-62）6/3/2020115.2.3)(z函数的确定对于闭口截面而言，为确定约束扭转正应力和剪应力，必须先确定函数)(z。故必须先列出薄壁杆件约束扭转微分方程式：Gzvsu（5-63）当截面周边不变形时，切线位移为)()(zsv（5-64）式中：)(z为截面的扭转角。将式（5-64）微分一次，并代入式（5-63），则)(')(zsGsu（5-65）将式（5-60）代入上式，即)(')()('''zsSGzEGMsu（5-66）对式（5-66）积分，有)()()(')('''),(0000zudsszdsSGzEdsGMszusss（5-67）6/3/202012为了满足周期条件（或变形协调条件），沿周边积分一周后)(),(0zuszu，即)()()(')(''')(00zudsszdsSGzEdsGMzu（5-68）故0)()(')('''dsszdsSGzEdsGM（5-69）将（5-69）对z微分一次，并将各项除以ds，且将dss)(代入，即0)('')(''''2dszGdsSdszEdzdMK（5-70）令dzdMmt，dsJd2（自由扭转惯性矩），dsSdsJ（扇性惯性矩），则式（5-70）可记为tdmzGJzEJ)('')(''''（5-71）由式（5-37）可知，)()(')(),(0szzuszu（5-72）6/3/202013由于ssdsdsdsss00)()(，则sdsssdsJdsszzudsdsdsszzuszu000000)()(')()()(')(),(（5-73）将式（5-74）对s微分一次，则)(1)('),(sJzsszud（5-74）另外，考虑到式（5-64）可知)(')(zszv由式（5-63）可得，)(')(1)('zsJzGzvsuGd（5-75）又知dsM，即6/3/202014JzJJzGdszdssdsJzGdszsJzGMddd)(')(')(')(1)(')(')(1)('（5-76）对式（5-76）化简，则JJzzGJMd1)(')('（5-77）令JJd1（5-78）则式（5-77）记为)(')('zzGJM（5-79）式中：dFdsJ22为截面的极惯性矩；JJd1为截面约束扭转系数（或称为翘曲系数），的大小反映了截面受约束的程度。对于圆形截面杆件，32rJJd，故01JJd，即)('zGJM，表明圆截面杆件仅发生自由扭转而没有约束扭转。对于箱型截面，当箱的高宽比较大时，dJ与J的差别也愈大，值就大，则截面上的约束效应也就大一些。对于开口断面，JJd，1，所以翘曲现象十分明显。6/3/202015将式（5-79）对z求导一次，则)('')(''zzGJmt（5-80）将式（5-80）代入到式（5-71），则有ttdmzGJmGJzEJ)('')(''''（5-81）上式两侧除以EJ，则有EJmJJEJmzEJGJztdtd1)('')(''''（5-82）令EJGJkd2，则上式变为EJmzkzt)('')(''''2（5-83）考虑边界条件，即可求解上式中的)(z。对于两侧固端梁，当0z时，0，0'；当lz时，0，0'。对于典型桥垮结构，一般多为变截面，特别是刚构体系，可按固端梁采用差分法得到近似解。6/3/2020165.2.4闭口截面扇性几何特征值计算为了计算闭口截面的几何特征值，必先求其剪切中心A，进而计算其广义扇性坐标)(sA。一般计算时，先取截面的形心C作为参考极点来求C。对于截面直角坐标系与其主坐标重合的情况（桥梁主梁断面一般满足这一条件），闭口截面主扇性零点与主扇性极点的计算公式为yyCAyxxCAxxyCAJJyyJJxxCyxCC（5-84）其中，0C，FCxydFJC，FCyxdFJC，FxdFyJ2，FydFxJ2；CAxxx，CAyyy。6/3/202017【算例5-2】如图5-13所示截面几何尺寸，试求截面的主扇性几何特征。图5-13闭口薄壁箱梁截面尺寸（单位：mm）（1）截面形心位置C以截面上翼缘中心为参考边，计算截面形心距离上翼缘板中心的距离，即mey863.1；（2）计算截面的惯性矩，即42472.29mIx，41419.82mIy；（3）广义扇性坐标)(sC的计算首先将截面的扇性坐标原点（或极点）选择在形心C处（mex0，mey863.1），s坐标起始点位于y轴与上翼缘板的交点处，以逆时针为正，则相对于该点的广义扇性坐标为6/3/202018ssCdsdsdsss00)()(（5-85）其中016685.14085.1391475.89828.174786.40562.027678.361.0438.53024.0438.57678.3438.52ds。故ssCdssdss00)(016685.1)(（5-86）图5-14所示为扇性坐标横向节点编号示意图。广义扇性坐标)(sC的计算见表5-2。图5-14广义扇性坐标横向节点编号图（尺寸单位：m）6/3/202019表5-2广义扇性坐标)(sC的计算点编号区间C点到边的距离)(s边厚)(mt扇性坐标)(sC（m2）403’4-3’1.8630.3024-4.07596’3’-6’2.7190.56