高一数学例谈函数解析式的求法

用心爱心专心例谈函数解析式的求法重庆黔江新华中学侯建新一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式，例一次函数：bkxy)0(k二次函数：cbxaxy2)0(a反比例函数：xky)0(k正比例函数：kxy)0(k2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用n个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)例（2001上海）设函数,1,log1,,2)(81xxxxfx，则满足41)(xf的x的值为。解：当1,x时，由412x得，2x，与1x矛盾；当,1x时，由41log81x得，3x。∴3x3、复合式若y是u的函数，u又是x的函数，即),(),(),(baxxguufy，那么y关于x的函数baxxgfy,,)(叫做f和g的复合函数。例已知3)(,12)(2xxgxxf，则)(xgf，)(xfg。解：721)3(21)(2)(22xxxgxgf4443)12(3)()(222xxxxfxfg二、解析式的求法用心爱心专心Ｏｘｙx１１－１根据已知条件求函数的解析式，常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值（式）法、方程法等。函数的解析式是表示对应关系的式子，是函数三种表示法中最重要的一种，对某些函数问题，能否顺利解答，往往取决于是不是能够求出函数的解析式．本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下：1．图象法例１已知函数y＝)(xf的图象如图所示．求函数)(xf的解析式．解：由图知函数是分段函数，分别对每段求解析式易得)(xf＝)10.(1)01(,xxxx评注：已知函数图象，求函数解析式，对于这类问题，我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可．２．配凑法（满足范围才能取代）例２已知31)11(2xxf．求)(xf得解析式．解：∵31)11(2xxf＝)111(,2)11(2)11(321)121(22xxxxxx∴)(xf＝2x－２x－２（x≠１）评注：已知)]([xgf＝)(xh，求)(xf的问题，可先用)(xg表示)(xh，然后再将)(xg用x代替，即得)(xf的解析式．例已知12fxxx，求()fx。解：21211fxxxx，2()1fxx（1x）。例已知211(1)2fxx，求()fx。解：221111(1)2(1)2(1)1fxxxx，2()21fxxx（1x）。用心爱心专心例已知：221)1(xxxxf，求)(xf。解：2)1(1)1(222xxxxxxf∴)22(2)(2xxxxf或注意：1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制；2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。３．换元法（满足范围才能取代）例３已知(12)fx＝2xx，求函数)(xf的解析式．解：令12xt，则x＝2(1)(1)4tt（引入新元要标注范围）∴22(1)1()(1)222ttttftt从而2()(1)2xxfxx评注：已知)]([xgf＝)(xh，求)(xf的问题，若用配凑法难求时，则可设)(xg＝t，从中解出x，代入)(xh进行换元来解．在换元的同时，一定要注意“新元”的取值范围．４．待定系数法当函数类型给定，且函数某些性质已知，我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。例４求一次函数)(xf，使得[()]fffx＝6x解：设一次函数为()(0)fxaxba，则2[()]()ffxaaxbbaxabb，2[()]()fffxaaxabbb＝32axababb由已知可得32axababb＝6x，比较系数得：3216aababb，解得12ab∴)(xf＝x＋２例已知二次函数()fx满足(1)1f，(3)(5)0ff，求()fx。用心爱心专心解：设函数为()(3)(5)fxaxx，将1,1代入得161a，解得116a，2215()16xxfx。例已知二次函数)(xfy满足),2()2(xfxf且图象经过点（0，1），被x轴截得的线段长为22，求函数)(xfy的解析式。分析：二次函数的解析式有三种形式：①一般式：)0()(2acbxaxxf②顶点式：为函数的顶点点其中khakhxaxf,,0)()(2③双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121xfxxaxxxxaxf解法1：设)0()(2acbxaxxf，则图象经过点（0，1）知：1)0(f，即c=1①∴1)(2bxaxxf由)2()2(xfxf知：1)2()2(1)2()2(22xbxaxbxa整理得：0)4(xba即：04ba②由被x轴截得的线段长为22知，22||21xx，即84)()(21221221xxxxxx即814)(2aab整理得：2284aab③由②③得：2,21ba∴1221)(2xxxf用心爱心专心解法2：由)2()2(xfxf知：二次函数对称轴为2x，所以设)0()2()(2akxaxf；以下从略。解法3：由)2()2(xfxf知：二次函数对称轴为2x；由被x轴截得的线段长为22知，22||21xx；易知函数与x轴的两交点为0,22,0,22，所以设)0()22)(22()(axxaxf，以下从略。例已知：)(xf为二次函数，且xxxfxf42)1()1(2，求)(xf。５．解方程组法例５已知２)(xf＋)1(xf＝x，求)(xf的解析式．解：已知２)(xf＋)1(xf＝x①将①中变量x换成x1，得２)1(xf＋)(xf＝x1②联立①、②可得方程，消去)1(xf得)(xf＝xx3132．例已知：)0(,31)(2xxxfxf，求)(xf。解：已知：,31)(2xxfxf①用x1去代换①中的x得xxfxf3)()1(2②由①×2－②得：)0(12)(xxxxf评注：已知)(xf满足某个等式，这个等式除)(xf是已知量外，还出现其他未知量，如f用心爱心专心（－x），)1(xf等．可以根据已知等式再构造其它等式组成方程组，通过解方程组求出)(xf．６．特殊值法对于抽象函数，我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。例６已知对一切Ryx,，关系式yyxxfyxf)12()()(都成立，且(0)f＝１，求)(xf．解：∵yyxxfyxf)12()()(对一切x、ｙ都成立．∴令x＝０得()(0)(1)fyfyy∴1)(2yyyf，再令x＝－ｙ得)(xf＝2x＋x＋１例已知定义在实数集R上函数()fx对于一切x、yR均有()()(2)fxyfxyxy，且(1)0f，求()fx。解：在()()(2)fxyfxyxy中，令yx、1x得(1)(1)(12)fxfxx，即(1)(12)fxxx，2()(1)(32)253fxyxxx。例已知函数()fx满足3()2()2fxfxx，求函数()fx。解：以x代原关系式中的x得3()2()2fxfxx，与原关系式联立组成方程组33()2()2()2()2fxfxxfxfxx解得：32()3fxx。对于函数()fx，当满足形如()()()afxbfxgx（0ab）或1()()afxbfgxx（0ab）等关系时，我们可以用x或1x代替关系式中的x，将得到的新式子与原关系式联立消元，将()fx从方程中解出来。用心爱心专心例已知函数)(xf对于一切实数yx,都有xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f。（1）求)0(f的值；（2）求)(xf的解析式。解：（1）取0,1yx，则有1)101()0()01(ff2202)1()0(ff（2）取0y，则有xxfxf)10()0()0(整理得：2)(2xxxf7.递推法对于定于在N上的函数，我们可以把()fn、(1)fn、(2)fn等与数列na中的项na、1na、2na等关联起来。我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值，将其转化为数列na的递推关系式，进而将求函数()fx的解析式转化为求数列na的通项。这样，我们便可以将求递推数列通项公式的思想方法迁移过来进行求解。例7已知()fx是定义在正整数集上的函数，并且对于任意的x、yN，都有()()()fxyfxfyxy，且(1)2f，求()fx。解：令1y得(1)()2fxfxx那么有：()(1)1fxfxx(1)(2)fxfxx(2)(3)1fxfxx……用心爱心专心(3)(2)4ff(2)(1)3ff各式叠加得：()(1)34fxf…(2)x3(2)(5)22xxxx即(5)(1)(4)()222xxxxfx（xN）8.变换法对于给定轴对称函数、中心对称函数、周期函数等在某区间的解析式要求另一区间上函数解析式一类问题，我们可从目标（待求）区间入手，构造变量属于已知区间，通过给定的函数的性质把待求的解析式和构造变量的函数值之间的关系关联，从而把函数在待求区间上的解析式求解出来。例8（奇偶变换法）已知()fx为定义在R上的奇函数，当0x时，2()3fxxx，试求当0x时()fx的解析式。解：设0x。则0x，那么2()3fxxx，而()fx为奇函数，2()()3fxfxxx。例9（对称变换法）已知()fx的图像关于直线2x对称，当2x时，2()53fxxx，试求当2x时()fx的解析式。解：设2x，则42x，那么22(4)454331fxxxxx，而()fx的图像关于直线2x对称，2()(4)31fxfxxx。例10（周期变换法）已知偶函数()fx为定义在R上的周期为2的周期函数，已知当3,4x时，()21fxx，求当1,1x时()fx的解析式。解：当1,0x时，43,4x，(4)2(4)129fxxx，而()fx是周期为2的周期函数，()(4)29fxfxx；当0,1x时，1,0x，()29fxx，而()fx为偶函数，用心爱心专心()()29fxfxx。综上得，当当1,1x时()92fxx。