磁流体力学方程

1/16第三章磁流体力学方程（MHD）§3.1引言由上一章的讨论可以看出，等离子体动力学理论是在位形及速度空间中讨论带电粒子的分布函数随时间的演化规律。由于动力学方程是一个非线性的积分微分方程，数学处理较复杂，在一般情况下很难求解。实际上，我们可以把等离子体看成为是一种电磁流体，它的宏观状态可以用密度、流速、温度等状态变量及电磁场来描述。这些状态参量及电磁场是在三维位形空间中随时间演化的。建立电磁流体状态参置随时间的演化方程称为磁流体力学（Magnetohydrodynamics-MHD）。与动力学理论相比，磁流体力学在数学处理上简单的多，而且等离子体中的许多过程，如等离子体的宏观平衡与稳定，波动过程均可以用MHD理论来描述。但对于等离子体中的另外一些现象，如Landau阻尼、速度空间中的不稳定性等则MHD理论却无能力描述。下面我们从动力学方程出发，建立MHD方程。§3.2二份量MHD方程设等离子体是由电子成份和一种离子成份组成的二份量电磁流体。首先我们引入二份量磁流体的宏观状态变量，我们知道，对于一个多粒子系统，其宏观变量是对应的微观变量的统计平均值。这样，第类成份流体的密度(,)nrt、流速火(,)rut及温度(,)rTt的定义为：(,)(,,)rvrvntdft（3-1）(,)(,)(,,)rrvvrvntutdft（3-2）231(,)(,)()(,,)22rrvvrvBkntTtdmuft下面我们利用上章给出的等离子体运动学方程来建立MHD方程。动力学方程可2/16以写成：[()](,,)(,,)vvvrvrvqEBftIttm(3-3)首先定义等离子体矩方程：将（3-3）两边乘以()vg并对v积分，（1）()()vvvvfgdgfdgttt（2）()()vvvvvvvgfdgfdg（3）()()()[]()vvvvvvvvvvvqfqEfgEdgdmmqEgfdmqEgm其中用到了分部积分和()vf在v时为零的条件。（4）()()()()()()vvvBvvBvvvvvBvqfqggdfdmmqgm其中利用了关系：()0vBv这样得矩方程：()()()()()vvvvBvvvvcqggfggEgdtmt其中：vaafd为统计平均。1．连续性方程设()1vg，并对v积分,则(,)[(,)(,)]0rrurntnttt（3-4）其中利用到0vId，粒子数守恒。引入电荷密度：(,)rqqnt（3-5）和电流密度：(,)(,)jrurqntt（3-6）3/16将（3-4）两边乘以q可以得到电荷守恒方程(,)(,)0rjrqttt（3-7）将（3-4）两边乘以m可以得到质量连续性方程(,)[(,)(,)]0rrurmmtttt（3-8）其中(,)(,)rrmtmnt是质量密度。2．动量平衡方程设()vvgm，并对v积分,则可得()()uuuEjBRqmnmnPt（3-9）其中(,)()()(,,)rvvuvurvPtdmft(3-10)为压强张量。而RvdmI（3-11）利用连续方程（3-4），方程（3-9）可以化成为[]uuEjBRqmnPt（3-12）该方程中各项的物理意义是：()uumnt---流体元的动量变化率；其中uu--为对流项；P--压强梯度产生的力；Eq--电场力；jB--洛仑兹力，是由电流穿越磁场而产生的力；R--为第类粒子与第类粒子碰撞时，其动量的变化率。方程（3．12）是一个不封闭的方程，因为涉及到高阶矩函数P及R，，只有通过求解动力学方程，才能严格地计算出P及R。在研究等离子体的磁流体状态时，通常假定等离子体中带电粒子的速度分布基本上为各向同性分布，因此有：PPI（3-13）4/16其中BPknT为静压强。P的非对角部分仅与等离子体中的粘滞现象有关。另外，对于不同种类的带电粒子之间的碰撞，动量的变化率可以写成摩擦阻力的形式：()uuRmn（3-14）其中为动量输运的平均碰撞频率.3．能量平衡方程设212()vgmv，并对v积分,并利用连续方程（3-4），动量平衡方积（3.12），最后可以得到能量平衡方程为：3[]:2uuquRBknTPQt(3-15)其中：21()()(,,)2qvvuvurvmndft（3-16）为热流矢量，而，21(,,)2vvrvQmndft（3-17）为不同种类带电粒子之间的碰撞产生的能量变化。在高温等离子体系统中，人们对等离子体中带电粒子的能量输运并不是太感兴趣。在研究等离子体的平衡、稳定及波动过程时，可以认为带电粒子在速度空间的分布基本上趋于各向同性的Maxwell分布。因此，通常用状态方程来确定等离子体的压强，从而取代了能量平衡方程。对于等温过程，有：1pcn（3-18）其中c1是常数。对于绝热过程，压强为5/32pcn（3-19）其中c2是常数。这样，对于双流体等离子体，其MHD方程为：()0unnt（3-20）uuEjBRqmnpt（3-21）()Ruumn5/16/EBt（3-22）000/BjEt（3-23）0/Eq（3-24）0B（3-25）qqn（3-26）juqn（3-27）它们与状态方程耦合，即构成一套封闭的方程组。后面几章，我们将用这套方程组研究等离于体中的波动过程及稳定性。§3.3单MHD方程在上节中，我们是把等离子体看作是由电子流体和离子流体组成的双流体。实际上，在研究等离子体中某些现象时，也可以把等离子体看成为单一的磁流体。本节我们的任务就是给出这种单一磁流体的MHD方程。首先引入单一磁流体的宏观状态参量：质量密度：(,)(,)rrmtmnt（3-28）电荷密度：(,)(,)rrqtqnt（3-29）流速：(,)(,)(,)urrrumttmnt（3-30）温度：(,)(,)(,)(,)rrrrmTttmntTt电流密度；(,)(,)(,)jrrurtqntt（3-31）总压强：PP（3-32）下面建立单流体的流体力学方程（1）连续性方程将电子成分的质量连续性方程()0umemeet（3-33）6/16与离子成分的质量连续性方程()0umimiit（3-34）相加，并利用（3-28）及（3-30），则单流体的质量连续性方程为()0ummt（3-35）（2）动量平衡方程为了得到单一流体的动量平衡方程，我们假定：等离子体是准中性的，即einnn。这样根据电子和离子的动量平衡方程，uuEuBReeeeeeeeeimnpenent（3-36）uuEuBRiiiiiiiiiemnpenent（3-37）得到单一流体的动量平衡方程为ujBmdPdt（3-38）其中利用了如下简化假设：由于电子的质量比离子质量小的多，略去了电子的惯性项，和电中性条件：iennn，及eiPpp，j(u)ieenu，uui，RReiie。（3）广义欧姆定律由关系：iennn，j(u)ieenu，得：jBuBuBeien，由关系：()Ruueieeeiiemn，2/()eeinem得：()jRuueieeeiieenmn略去（3-36）中的对流项，得：/EuBjBjepenen(3-40)[()]jEuBjBepen这就是广义欧姆定律。对于简单的欧姆定律有jE（3-41）是等离子体的电导率。因此，广义欧姆定律中，多了如下几项：（1）()uB，磁流体运动引起电流；7/16（2）()jBen：等离子体受到洛兹力作用而运动产生的电流。（3）epen：由于压力梯度而产生的电流变化。这样采用单流体模型，等离子体的MHD方程为：()0[()]uujBjEuBjBmmmetPtpen（3-43）再加上Maxwell方程组000//EBBjEtt（3-44）构成了一套封闭的方程组（设P已知，由状态方程给出）。单流体MHD方程常用于描述等离子体装置的平衡与稳定，也可以用于描述等离子体中的波动现象。用单流体的MHD方程描述等离子体中的波动现象比用双流体的MHD方程描述精确性差，这是因为在推导单流MHD方程时，做了一些简化假定。对于一些低频过程，可以略去Maxwell方程组中的/Et；另外对于低温过程，还可以略去广义欧姆定律中的压力梯度项ep。jB项与uBen项相比，也可以略去。这样简化的单流体MHD方程为：()0/0uujBEuBjmmmtPt（3-45）0/EBBjt（3-46）对于理想等离子体，还可以略去/j项，这样理想等离子体的MHD方程为：8/160()00/uujBEuBEBBjmmmtPtt(3-47)下节我们将利用上述方程研究等离子体的MHD平衡与稳定。§3.4MHD平衡与稳定1．平衡与稳定的概念对于一个磁约束的等离子体系统，人们所关心的首要问题是系统的受力是否平衡？如果受力能达到平衡，接下来的问题的就是这种平衡状态是否稳定，即系统受到小的扰动后，对平衡状态的偏离幅度是否大？下面我们用数学的语言来描述平衡与稳定问题。设x0是系统处在平衡状态下的某一物理量，满足如下方程：0()0fx（3-48）如果对系统施加一个扰动，使得物理量x0变为01()xtxx，且()xt满足如下运动方程：()[()]dxtfxtdt（3-49）设扰动是微扰动，则可以将方程（3.49）线性化：01()'()dxtfxxdt（3-50）设扰动量1x可以表示成山1()~exp()xtit的形式，由此可以求出扰动频率为：0'()ifx（3-51）如果0Im()'()0fx，则表明扰动会很快地被衰减掉，则系统对应的平衡状态是稳定的。反之，0Im()'()0fx，则表明平衡状态0()0fx是不稳定的。我们也可以用下图4形说明平衡与稳定问题。图4a对应的是稳定平衡，因为小球偏离平衡位置后，仍能恢复到原来的状态；而图4b则对应的是不稳定的9/16平衡，小球一旦受到扰动，将会逐渐地偏离其平衡位置，不会自动复原。下面利用上节得到的简单的MHD方程，来分析以下等离子体体系的平衡问题。2.MHD平衡对于一般的磁约束系统，研究其平衡问题是极其复杂的。下面我们从稳态的MHD方程出发，给出等离子体平衡状态的一些性质。对稳定的状态，等离子体系统的MHD方程为(见3-7)：jBP(3-52)Maxwell方程为：0Bj(3-53)由方程（2-52）可以看出：（a）抗磁性电流压力梯度P和洛仑兹力jB是维持系统处在平衡状态的必要条件。为了说明这个问题，我们以一个柱状的等离子