锐角三角函数的实际应用

广州卓越一对一初中数学教研部编著学生姓名授课日期第2页共14页第一部分：知识点回顾1．边与边关系：a2＋b2＝c22．角与角关系：∠A＋∠B＝90°3．边与角关系，sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cota＝ba4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，读作i，即i＝ACBC，坡度通常用1:m的形式(注意:坡度一定要写出1:几的形式)，例如上图的1:2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡。第二部分：自我评测知识点掌握情况备注非常好一般有待提高特殊三角函数的值坡度计算三角函数的实际应用第三部分：例题剖析例：如图，若∠CAB=90°，∠C=∠α，∠BDA=∠β，CD=m，求AB.解法：设AB=x，在Rt△BAD中，tantanABxDA，在Rt△ABC中，tantanABxCA∵CA=CD+DA∴tantanxxm通过解方程求出知数x的值课题锐角三角函数的实际应用教学目标1、进一步掌握锐角三角函数的定义；2、能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学重点能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题教学难点能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题第3页共14页BClDA第四部分：典型例题例1：某人在D处测得大厦BC的仰角∠BDC为30°,沿DA方向行20米至A处,测得仰角∠BAC为45°,求此大厦的高度BC。变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：414.12，732.13）.变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A第4页共14页楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30．（1）如果AB，两楼相距203米，那么A楼落在B楼上的影子有多长？（2）如果A楼的影子刚好不落．在B楼上，那么两楼的距离应是多少米？（结果保留根号）2、仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。例2：（2011江苏淮安，23，10分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度变式训练1：小明想测量塔BC的高度．他在楼底A处测得塔顶B的仰角为60；爬到楼顶D处测得大A楼B楼CEGFHD30°第5页共14页330mABCDEα︶楼AD的高度为18米，同时测得塔顶B的仰角为30，求塔BC的高度．变式训练2：某高为5.48m的建筑物CD与一铁塔AB的水平距离BC为330m，一测绘员在建筑物顶点D测得塔顶A的仰角a为30°.求铁塔AB高.（精确到0.1m）.第6页共14页30°ABFEP45°变式训练3、（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为方向角。例3：一个半径为20海里的暗礁群中央P处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B，灯塔在北偏西30°方向，如图.问货轮沿原方向航行有无危险？变式训练1：（广东中山，15，6分）如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732，2≈1.414）第7页共14页变式训练2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：21.431.7≈，≈）如图，小明从A地沿北偏东30方向走1003m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时小明离A地m．4、坡度与坡角坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即==:hihll，坡度=tanhil坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡例4：（湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10mB．103mC．15mD．53m例5：（甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为。例6：(福建省漳州市)一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）A．5sin31米B．5cos31米C．5tan31米D．5cot31米第8页共14页30°45°EDCBAABCEFD30°5.2:1i例7：一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5。求：(1)斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；(2)斜坡CD的坡角α（精确到1°）。变式训练1：某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米。变式训练2：（山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．53米B．10米C．15米D．103米变式训练3：（顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1米，参考数据：21.414,31.732,62.449变式训练4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:3，求坝底宽AD的长.（答案保留根号）第9页共14页第五部分：思维误区1．对应关系混淆【1】如图9，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.aacos米B.cosa米C.aasin米D.sina米解析：分别过点B，A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则△ABC是直角三角形，且∠C=90°,∠CBA=α,∴ABaABBCacos∴cosaAB，故选B。错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角α的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误。2．专用名词不清【2】（年深圳市）如图9，如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．解析：坡度是表示斜坡的铅直距离与水平距离的比，所以过点C作CE⊥AD于E，CE为铅直距离，AE为水平距离，即CE：AE=1:3。∴3331tanCAE，∴∠CAE=30°，解直角三角形△AEC可得CE=5（m）,AE=35（m）,在Rt△ABE中，1122AEABBE（m）,∴BC=BE-CE=6（m）错因分析：本题要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角与坡度的区别与联系；其他实际问题中还要注意仰角、角、方位角等概念。第六部分：方法规律锐角三角函数了解锐角三角函数（sinA，cosA，tanA）；知道30°，45°，60°角的三角函数值由某个锐角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30°，45°，60°角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题ABα图9ABCD图10第10页共14页第七部分：巩固练习A.基础训练：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系式错误的是（）A．cosbcBB.tanbaBC.sinacAD.tanbaB2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不成立的是（）A．222acbB.sinaAcC.tanabAD.coscbB3.Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高，AD＝4，BD＝2，那么tanA＝（）A．22B.33C.24D.284.太阳光与地面成42.5°的角，一树的影长10米，则树高约为________。（精确到0.01米）5.在离地面高6米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成60°角，则拉线的长约是________米。（精确到0.01米）6.如图31—3—1，大坝横截面是梯形ABCD，CD＝3m,AD＝6m.坝高是3m，BC坡的坡度i＝1:3,则坡角∠A＝__________，坝底宽AB＝_____________。7.如图31—3—2，在2005年6月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的B处折断，树顶A落在离树根12米的地方，现测得∠BAC＝48°，求原树高是多少米？（精确到0.01米）第11页共14页复习巩固：1．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移（如图31—3—3所示），距沙尘暴中心300km的范围内将受其影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？2．如图31—3—4，为了测量电视塔AB的高度，在C、D两点测得塔顶A的仰角分别为30°，45°。已知C、D两点在同一水平线上，C、D间的距离为60米，测倾器CF的高为1.5米，求电视塔AB的高。（精确到0.1米）3.如图31—3—5，一只船自西各东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向68海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向N处，求这只船航行的速度。B第12页共14页拓展训练：1.（2003·贵阳）如图31—3—9，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？2.如图31—3—10，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器在距离科技楼靠塔的一面25米远处测得塔顶A的仰角为60°，塔底B的仰角为30°，你能利用这些数据帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到0.1米）3、如图，在某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所A，发现有一艘轮船从哨所正西方45海里处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出了危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进了15海里到达C处，此时哨所第二次发出紧急信号（信号传输时间忽略不计）。⑴若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，轮船航向改变