华南理工大学期末考试数学物理方程卷a及答(08[1]6

《》试卷第1页共4页诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《数学物理方程》试卷A注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请答在试题卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共七大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六七总分得分评卷人一.填空(40分) 1．二阶线性偏微分方程 11122212 2 xyxyyyxy auauaububucuf+++++=在某点为双曲型的判别条件是在该点处（ 2 121122 0 aaaD=-）。 2. 四种固有值问题（1） ()()0 (0)()0 XxXx XXll¢¢+=ìí==î，（2） ()()0 (0)()0 XxXx XXll¢¢+=ìí¢==î，（3） ()()0 (0)()0 XxXx XXll¢¢+=ìí¢==î，（4） ()()0 (0)()0 XxXx XXll¢¢+=ìí¢¢==î的固有值都记为 2 nnlw=，则(1),(2),(3),(4)的固有函数 () n Xx 分别为sin,cos,sin,cos nnnn xxxx，其中 nw分别为（ n lp），（ (21) 2 n lp+），（ (21) 2 n lp+），（ n lp）。 3. 表达波动方程初值问题 2 ,,0 (,0)(),(,0)() ttxx t uauxt uxxuxxjyì=-¥+¥í==î的解的达朗贝尔公式是（ ()()1 (,)() 22 xat xat xatxat uxtd ajjyaa+--++=+ò）。 4. 由泊松公式，三维波动方程初值问题 2 (),,,,0 (,,,0)(,,),(,,,0)0 ttxxyyzz t uauuuxyzt uxyzxyzuxyzjì=++-¥+¥í==î的解可表示为（ 22 (,,)((,,) 4 Mat S t uxyzdS tatjxmzp¶=¶òò），其中 Mat S 表示以 (,,) Mxyz 为球心，以at为半径的球面。5.函数（ 0 1 (0) Ur r=¹）称为三维拉普拉斯方程 0 xxyyzz uuu++=的基本解。 _____________ ________ 姓名学号学院业班级序号 ( 密封线内不答题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………《》试卷第2页共4页6.根据调和函数的性质，诺伊曼问题 0,(,,) |(,,) uxyz u fxyz nGD=ÎWìï¶í=ï¶î有解的必要条件是（ (,,)0 fxyzdSG=òò）。7设函数 0 0 1 (,) 4 MM GMMv rp=-为区域W上的格林函数，则W上的狄利克雷问题 0,(,,) |(,,) uxyz ufxyzGD=ÎWìí=î的解可表示为（ 0 ()(,,) G uMfxyzdS nG¶=-¶òò）。8.贝塞尔方程 22 (5)0 xyxyxy¢¢¢++-=的通解是（ 55 ()()() yxAJxBJx-=+）。二. (10分)将方程 22 2 xxyy yuxu-=化为标准形。答（P18例 1）： 222 121122 0,0,0. aaaxyxyD=-=¹¹当 0,0 xy¹¹时，方程为双曲型，特征方程为 2222 0 ydyxdx-=积分曲线为 2222 12 1111 ,. 2222 yxcyxc-=+=作变换 2222 1111 ,, 2222 syxtyx=-=+则 222 222 , 2, , 2. xst xxssstttst yst yyssstttst uxuxu uxuxuxuuu uyuyu uyuyuyuuu=-+=-+-+=+=++++于是 22222222 4()() xxyystst yuxuxyuxyuyxu-=--++-，又 22222222 2,2,(2)(2)4, xytyxsstxy+=-=-=-故原方程化为 22 4()222, stst stutusu--+=即 2222 1 . 2()2()2 stst ts uuu stst=-+--《》试卷第3页共4页三. (10分) 求解问题 2 ,(0,0), (0,)0,(,)0, (,0)sin,(,0)sin. ttxx t uauxlt utult xx uxux llppìï=ï==íïï==î。答(p56习题二，1（1）)：用分离变量法. 特征值和特征函数分别为 2 (),()sin. nn nnx Xx llppl==结果为 (,)(cossin)sin. atlatx uxt lallpppp=+四.(10分)用固有函数法求解 2 sin,(0,0), (0,)0,(,)0,(0), (,0)0,(,0)0,(0). ttxx t x uautxlt l utultt uxuxxlpì=+ïï==³íï==££ïî答（p58习题二 10(2)）:固有函数系为{sin} nxlp，结果为 2 (,)()(sin)sin. llatx uxtt aallpppp=-五. (10 分)用积分变换法求解问题 2 ,(,0), (,0)sin. txx uauxt uxxì=-¥+¥í=î（已知傅氏逆变换 2 22 2 1 4 1 []. 2 x at at Fee atlp---=）。答（类似 p85习题三 9及 p74例 1）： 22 22 [(,)](,),[sin](). (,) (,) , (,0)(). (,)(). at FuxtUtFx dUt aUt dt U Utellllllllll-==Fì=-ïíï=Fî=F 22 2 22 () 44 11 (,)sin*sinsin. 22 xx at atat uxtxeedxe atatxxxpp---+¥--¥===ò六. (10分)求解泊松方程边值问题 222 222 4 (,,)12,(4) |8. xyz uxyzxyz u++=ìD=-++ïí=ïî答（类似 p105例 5例 6）:显然泊松方程有一特解 222 2(). wxyz=-++《》试卷第4页共4页令 222 2(), uvxyz=-++则问题化为拉普拉斯方程边值问题 222 4 (,,)0, |16. xyz vxyz v++=D=ìïí=ïî由极值原理， 16. v=所以原问题的解为 222 162(). uxyz=-++七．(10分)求解圆盘的热传导问题 2 2 1 (),(01,0) (1,)0, (,0)1. trrr uauurt r ut urrì=+£ïï=íï=-ïî答（p122例 1）： (,)()(). urtRrTt= 2 222 0. (0)0, (1)0,|(0)|. TaT rRrRrR RRll¢+=¢¢¢ì++-=í=¥î 00 ()()(). RrCJrDYrll=+ 0. D=固有值 (0)2(0) 0 (),() mmm Jxlmm=为正零点.固有函数 (0) 0 ()(). mm RrJrm= (0)2 () (). m at mm TtCem-= (0)2 () (0) 0 1 (,)(). m at mm m urtCeJrmm¥-==å由 (0)2 0 1 (,0)()1, mm m urCJrrm¥===-å得 1 2(0) (0) 0 02 (0)22(0) 2(0) 1 1 (1)() 4() . 1 ()() () 2 m m m mm m rrJrdr J C J Jmmmmm-==ò于是， (0)2 (0) () (0) 2 0 (0)22(0) 1 1 4() (,)(). ()() m at m m m mm J urtJre Jmmmmm¥-==å