二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选

九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第1页二次函数中考压轴题（三角形与存在性问题）解析精选【例1】.已知：如图一，抛物线cbxaxy2与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线2xy经过A、C两点，且AB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，（如图2）；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设OPEDOPEDs，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）在yx2中，由x=0得y=－2，∴C（0，－2）。由y=0得x=2，∴A（2，0）。∵AB=2，∴B（4，0）。∴可设抛物线的解析式为yax2x4，代入点C（0，－2）得1a4。∴抛物线的解析式为2113yx2x4xx2442。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4－2t。九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第2页∵ED∥BA，∴△CED∽△COB。∴EDCEOBCO，即EDt42。∴ED=2t。∴222t+42tEDOP41s===EDOP2t42t4t+8tt1+1。∴当t=1时，2t1+1有最大值1。∴当t=1时，EDOPsEDOP的值最小，最小值是1。（3）存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b，由B（4，0），C（0，－2）得4k+b=0b=2，解得1k=2b=2，∴C所在直线的解析式为1y=x22。由题意可得：D点的纵坐标为t－2，则D点的横坐标为2t。∴22BD42tt2=52t。又2222BCOBOC4225。∵∠PBD=∠ABC，∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：当BPBDABBC时，即52t2t225，解得2t3；当BPBCBDBA时，即2t25252t，解得10t7。综上所述，当2t3或10t7时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）求出C、A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x－2）（x－4），代入点C的坐标求出a即可。（2）由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出△CED∽△COB，从而EDCEOBCO，求出ED=2CE=2t，根据2EDOP1s=EDOPt1+1，根据二次函数的最值求出九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第3页即可。（3）以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：BPBDABBC和BPBCBDBA代入求出即可。【例2】.如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．(1)直接写出点A、B的坐标：A(，)、B(，)；(2)若抛物线y＝－13x2＋bx＋c经过点A、B，则这条抛物线的解析式是；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N．问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(4)当72≤x≤7，在抛物线上存在点P，使△ABP的面积最大，求△ABP面积的最大值．【答案】解：（1）（6，0），（0，－8）。（2）2110yx+x833＝。（3）存在。设M2110mm+m833，，九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第4页则N（m，0）MN=2110m+m833，NA=6－m。又DA=4，CD=8，①若点M在点N上方，MNNACDDA，则△AMN∽△ACD。∴2110m+m86m3384，即2m16m+60=0，解得m=6或m=10。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。②若点M在点N下方，MNNACDDA，则△AMN∽△ACD。∴2110mm+86m3384，即2m4m12=0，解得m=－2或m=6。与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。③若点M在点N上方，MNNADACD，则△AMN∽△ACD。∴2110m+m86m3348，即22m23m+66=0，方程无解。∴此时不存在点M，使△AMN与△ACD相似。④若点M在点N下方，MNNADACD，则△AMN∽△ACD。∴2110mm+86m3348，即22m17m+30=0，解得m=52或m=6。当m=52时符合条件。∴此时存在点M（52，74），使△AMN与△ACD相似。综上所述，存在点M（52，74），使△AMN与△ACD相似。（4）设P（p，2110p+p833），在2110yx+x833＝中，令y=0，得x=4或x=6。∴72≤x≤7分为72≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间讨论：九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第5页①如图，当72≤x＜4时，过点P作PH⊥x轴于点H则OH=p，HA=6－p，PH=2110pp+833。∴ABPOABAPHOBPHSSSS梯形222211110111068pp+8+8p6ppp+82233233p+6p=p3+9∴当72≤x＜4时，ABPS随p的增加而减小。∴当x=72时，ABPS取得最大值，最大值为354。②如图，当4≤x＜6时，过点P作PH⊥BC于点H，过点A作AG⊥BC于点G。则BH=p，HG=6－p，PH=22110110p+p8+8=p+p3333，∴ABPBPHABGPHGASS+SS梯形2222111011101p+pp+p+p+86p682332332p+6p=p3+9∴当4≤x＜6时，ABPS随p的增加而减小。∴当x=4时，ABPS取得最大值，最大值为8。③如图，当6≤x≤7时，过点P作PH⊥x轴于点H。则OH=p，HA=p－6，PH=2110pp+833。∴ABPOABAPHOBPHSSSS梯形2222111011110pp+8+8p68p6pp+82332233p6p=p39∴当6≤x≤7时，ABPS随p的增加而增加。∴当x=7时，ABPS取得最大值，最大值为7。综上所述，当x=72时，ABPS取得最大值，最大值为354。九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第6页【考点】二次函数综合题，矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定，二次函数的性质。【分析】（1）由OD＝10，OB＝8，矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合，可得OA2=AB2－OB2=102－82=36，∴OA=6。∴A（6，0），B（0，－8）。（2）∵抛物线y＝－13x2＋bx＋c经过点A、B，∴12+6b+c=0c=8，解得10b=3c=8。∴这条抛物线的解析式是2110yx+x833＝。（3）分①若点M在点N上方，MNNACDDA，②若点M在点N下方，MNNACDDA，③若点M在点N上方，MNNADACD，④若点M在点N下方，MNNADACD四种情况讨论即可。（4）根据二次函数的性质，分72≤x＜4，4≤x＜6和6≤x≤7三个区间分别求出最大值，比较即可。【例3】.在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第7页【答案】解：（1）B（3，0），C（0，3）。∵A（—1，0）B（3，0）∴可设过A、B、C三点的抛物线为y=ax+1x3a0。又∵C（0，3）在抛物线上，∴3=a0+103，解得3a=3。∴经过A、B、C三点的抛物线解析式3y=x+1x33即2323y=x+x+333。（2）①当△OCE∽△OBC时，则OCOEOBOC。∵OC=3，OE=AE—AO=x－1，OB=3，∴3x133。∴x=2。∴当x=2时，△OCE∽△OBC。②存在点P。由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。此时，△CAE为等边三角形。∴∠AEC=∠A=60°。又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=60°。∴点C与点M关于抛物线的对称轴23b3x===12a323对称。∵C（0，3），∴M（2，3）。过M作MN⊥x轴于点N（2，0），九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第8页∴MN=3。∴EN=1。∴2222EMENMN1+32。若△PEM为等腰三角形，则：ⅰ)当EP=EM时,∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，23)。ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，233)∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，23）或（1，233）时，△EPM为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。②求得EM的长，分EP=EM，EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。【例4】.已知直线y=2x5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线2y=x+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图①，当点M与点A重合时，求：①抛物线的解析式；（4分）②点N的坐标和线段MN的长；（4分）（2）抛物线2y=x+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）九年级数学优辅专项训练题《二次函数学专项训练》第9页【答案】解：（1）①∵直线y=2x5与x轴和y轴分别交于点A和点B，∴A（52，0），B（0，－5）。当顶点M与点A重合时，∴M（52，0）。∴抛物线的解析式是：25y=x2，即225y=x+5x4。②∵N是直线y=2x5与在抛物线225y=x+5x4的交点，∴2y=2x525y=x+5x4，解得1x=2y=4或5x=2y=0。∴N（12，－