概率论小论文

学院：市政学院学号：1142510122姓名：陈信志随机变量的一些数字特征的应用摘要：数字特征能够较集中地反映随机变量的某些统计特性，而且许多重要分布中的参数都与数字特征有关。因而数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位，在平时生活中的应用更是频繁。关键词：概率论，数字特征，数学期望，方差，中心极限定理。虽然随机变量的概率分布（分布函数或分布列和概率密度）能够完整的描述随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，求概率分布并不容易，而且，有时不需要知道随机变量的概率分布，只需知道它的某些数字特征就够了。虽然数字特征不能够像概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律，但数字特征能够较集中地反映随机变量的某些统计特性，而且许多重要分布中的参数都与数字特征有关。因而数字特征在概率论与数理统计中占有重要地位，在平时生活中的应用更是频繁。在这里，我们主要介绍数学期望和方差在实际问题中的应用。数学期望简称期望，又称均值，是概率统计中一项重要的数字特征，它代表了随机变量取值的平均水平。在实际应用中，很多问题都可以直接或间接的转化为数学期望问题来反映。很多时候只知道平均值是不够的，我们还要知道样本每一个值离开平均值的偏离程度，这时候我们就定义了方差，进而为了需要，我们由由此总结出了切尔雪夫不等式和中心极限定理。本文主要讲述了这些数字特征在日常生活中的应用，如销售问题，运输问题，生产问题等等。一、在销售上的应用。1.进货量的确定。设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280，试确定最小进货量。分析：通过该商品的需求量是一个随机变量，进而我们可以得知其利润值也是随机变量；最大利润的期望值即平均利润的最大值。假设商店获得的利润为T，进货量为y，则T=g（X）=由题意9280≤ET=dxxf)()xg-（=201[dxyxydxyx)200300(30)100600(10y]=-7.5y²+350y+5250即7.5y²-350y+4030≤0yXyXXyyXXy10,10060030,200300yX100,10X)-(y-500X30,300y)-Xy500{{（解不等式得2032≤y≤26即，使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位。2.利润的预计设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障获利润0万元；发生三次或三次以上故障则亏损2万元。求一周内的利润期望值。假设T（单位：万元）为一周内获得的利润，则T为离散型随机变量，其所有可能取值为10,5,0，-2，其分布律为P(T=10)=05C×0.2º×0.85=0.328P(T=5)=15C×0.2¹×0.84=0.410P(T=0)=25C×0.2²×0.83=0.205P(T=-2)=1-P(T=10)-P(T=5)-P(T=0)=0.057于是ET=-2×0.057+0×0.205+5×0.410+10×0.328=5.216即，一周内的利润期望值为5.216万元。二、在运输问题上的应用。一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重量为50kg，标准差5kg，若用最大载重量为5t的骑车承运，试分析每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。假设Xi表示装运的第i箱的重量，n为装载的箱数，X1，X2，……，Xn独立同分布，n箱总重量为T=n1iiX。由已知有EXi=50，iDX=5，ET=50n，DT=25n，由独立同分布中心极限定理可知P（T≤5000）=P（n5n50-5000）≈Φ（nn10-1000）0.977=Φ（2）故nn10-10002即10n+2n-10000所以n101-10001≈9.9005n(9.9005)²=98.0199因此，最多可以装98箱。分析：此题应用中心极限定理，分析运输时所需的车辆数，避免在实际中因车辆过多或过少而出现问题，从而造成经济损失。三、在生产线上的问题。假设生产线上组装每件产品的时间服从指数分布，统计资料表明该生产线上每件成品的组装时间平均为10min，各件产品的组装时间相互独立。（1）求组装100件成品需要15~20h的概率；（2）以95%的概率在16h之内最多可以组装多少件成品。解析：设Xi（i=1,2，…，n）是第i件成品的组装时间，由条件知：X1，X2，……，Xn服从独立的指数分布且EXi=10（min），DXi=10²=100.（1）由于n=100充分大，根据独立同分布中心极限定理，100件成品的组装时间1001iiX近似服从正态分布N(100×10,100×10²)，因此有P（900≤1001iiX≤1200）=P（-1≤100001000x1001ii≤2）=Φ（2）-Φ（-1）=0.9772+0.8413-1=0.8185（2）要求确定n，使P（n1ii960X）=0.95而当n充分大时，n1iiX近似服从正态分布N（10n，100n）P（n1ii960X）=P{nnXii10010n1≤n100n10-960}=Φ（nn-96）=0.95=Φ（1.645）则有nn-96=1.645n≈81.18于是在16h内以概率0.95最多组装81件产品。分析：本题同样运用中心极限定理来分析生产线上的生产问题，运用近似处理的办法将问题近似处理为正态分布问题。这即为数学建模思想。总结：其实，我们日常生活中到处都有概率的影子，小到天气预报，过马路可能遇到的红绿灯数目，大到炸弹的安全，都离不开概率论。在生产和销售等领域上，概率论更是发挥着无比重要的作用。学好概率论不仅能使我们清楚抽奖以及赌博的原理，更能为我们未来的工作摆正心态，正确面对就业中遇到的困难。总之，学好概率论可以使我们的生活更加理智。